＜例題＞図のように大円が２個交差した隙間に中円２個と小円４個を容れる。大円半径が一定値
で与えられていて、中円半径を変えるき、小円半径を最大にしたい。このとき中円半径
は幾らにしたらよいか。
＜解答＞大円、中円の中心を通る直線をｘ軸、２つの大円の交点を通る直線をｙ軸とし、大円、
中円、小円の中心を、図のように Ａ、Ｂ、Ｃ とし、半径を ｒ、ｘ、ｙ とすると、
条件より、Ａ，Ｂ の座標は (ｘ，０)、(ｒ、０) で、Ｃ の座標を (α、β) とすると、
条件より、中円と小円が外接するから、|ＢＣ|＝ｘ＋ｙ
|ＢＣ|２＝(ｘ＋ｙ)２
(α−ｒ)２＋(β−０)２＝(ｘ＋ｙ)２ ・・・・・・・・・・・・・・（１）
条件より、右側の大円と小円が内接するから、|ＡＣ|＝ｒ−ｙ
|ＡＣ|２＝(ｒ−ｙ)２
(α−ｘ)２＋(β−０)２＝(ｒ−ｙ)２・・・・・・・・・・・・・・・（２）
条件より、左側の大円と小円が外接するから、|ＡＣ|＝ｒ＋ｙ
(α＋ｘ)２＋(β−０)２＝(ｒ＋ｙ)２・・・・・・・・・・・・・・・（３）
(１)−(２) −２αｒ＋２αｘ＋ｒ２−ｘ２＝２ｘｙ＋２ｒｙ＋ｘ２−ｒ２
−２αｒ＋２αｘ＝２ｘｙ＋２ｒｙ＋２ｘ２−２ｒ２
−αｒ＋αｘ＝ｘｙ＋ｒｙ＋ｘ２−ｒ２
(２)−(３) −４αｘ＝−４ｒｙ
α＝ｒｙ/ｘ
上の式より、−(ｒｙ/ｘ)ｒ＋(ｒｙ/ｘ)ｘ＝ｘｙ＋ｒｙ＋ｘ２−ｒ２
−(ｒｙ)ｒ＋(ｒｙ)ｘ＝ｘ２ｙ＋ｒｙｘ＋ｘ３−ｒ２ｘ
−ｒ２ｙ＝ｘ２ｙ＋ｘ３−ｒ２ｘ
−ｒ２ｙ−ｘ２＝ｘ３−ｒ２ｘ
ｙ(ｘ２＋ｒ２)＝ｒ２ｘ−ｘ３
ｙ＝(ｒ２ｘ−ｘ３)/(ｘ２＋ｒ２)
上の式より、
ｄｙ/ｄｘ＝{(ｒ２ｘ−ｘ３)'(ｘ２＋ｒ２)−(ｒ２ｘ−ｘ３)(ｘ２＋ｒ２)'}
÷(ｘ２＋ｒ２)２
(ｄｙ/ｄｘ)(ｘ２＋ｒ２)２
＝(ｒ２−３ｘ２)(ｘ２＋ｒ２)−(ｒ２ｘ−ｘ３)(２ｘ)
＝−ｘ４−４ｘ２ｒ２＋ｒ４
＝−{ｘ４＋４ｘ２ｒ２−ｒ４}
＝−{(ｘ２＋２ｒ２)２−５ｒ４}
＝−{(ｘ２＋２ｒ２)−５１/２ｒ２}{(ｘ２＋２ｒ２)＋５１/２ｒ２}
(ｄｙ/ｄｘ)(ｘ２＋ｒ２)２/{(ｘ２＋２ｒ２)＋５１/２ｒ２}
＝−{(ｘ２＋２ｒ２)−５１/２ｒ２}
＝−{ｘ２−(５１/２−２)ｒ２}
＝−{ｘ−(５１/２−２)１/２ｒ}{ｘ＋(５１/２−２)１/２ｒ}
(ｄｙ/ｄｘ)(ｘ２＋ｒ２)２/{(ｘ２＋２ｒ２)＋５１/２ｒ２}{ｘ＋(５１/２−２)１/２ｒ}
＝−{ｘ−(５１/２−２)１/２ｒ}
上の式より、０＜ｘ＜(５１/２−２)１/２ｒ のとき、ｄｙ/ｄｘ＞０
ｘ＝(５１/２−２)１/２ｒ のとき、 ｄｙ/ｄｘ＝０
(５１/２−２)１/２ｒ＜ｘ＜ｒ のとき、ｄｙ/ｄｘ＜０
∵ (ｘ２＋ｒ２)２/{(ｘ２＋２ｒ２)＋５１/２ｒ２}{ｘ＋(５１/２−２)１/２ｒ}＞０
以上により、ｘ＝(５１/２−２)１/２ｒ のとき ｙ は最大となる。
(答) (５１/２−２)１/２×大円半径
＜解答＞大円、中円、小円の半径を ｒ，ｘ，ｙ とし、点は図に示してあるものとする。
条件より、
(ＭＮ)Ｓ＝(ＭＯ＋ＯＮ)Ｓ＝(ＭＯ)＋２(ＭＯ・ＯＮ)＋(ＯＮ)Ｓ
２(ＯＭ・ＯＮ)＝(ＭＯ)＋(ＯＮ)Ｓ−(ＭＮ)Ｓ
＝(ｒ−ｘ)２＋(ｒ−ｙ)２−(ｘ＋ｙ)２
＝２ｒ２−２ｒｘ−２ｒｙ−２ｘｙ
ＯＭ・ＯＮ＝ｒ２−ｒｘ−ｒｙ−ｘｙ・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
(ＧＮ)Ｓ＝(ＧＯ＋ＯＮ)Ｓ＝(ＧＯ)＋２(ＧＯ・ＯＮ)＋(ＯＮ)Ｓ
２(ＯＧ・ＯＮ)＝(ＧＯ)＋(ＯＮ)Ｓ−(ＧＮ)Ｓ
＝(２ｘ)２＋(ｒ−ｙ)２−(ｒ＋ｙ)２
＝４ｘ２−４ｒｙ
ＯＧ・ＯＮ＝２ｘ２−２ｒｙ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
ＧＯ：ＯＭ＝２ｘ：ｒ−ｘ から、
(ｒ−ｘ)・ＧＯ＝２ｘ・ＯＭ
(ｒ−ｘ)(ＧＯ・ＯＮ)＝２ｘ(ＯＭ・ＯＮ)
０＝(ｒ−ｘ)(ＯＧ・ＯＮ)＋２ｘ(ＯＭ・ＯＮ)
上の式に (１)、(２) を代入、
０＝(ｒ−ｘ)(２ｘ２−２ｒｙ)＋２ｘ(ｒ２−ｒｘ−ｒｙ−ｘｙ)
＝(ｒ−ｘ)(ｘ２−ｒｙ)＋ｘ(ｒ２−ｒｘ−ｒｙ−ｘｙ)
＝ｒｘ２−ｒ２ｙ−ｘ３＋ｒｘｙ＋ｘｒ２−ｒｘ２−ｒｘｙ−ｘ２ｙ
＝−ｒ２ｙ−ｘ３＋ｒ２ｘ−ｘ２ｙ
ｙ(ｘ２＋ｒ２)＝(ｒ２ｘ−ｘ３)
ｙ＝(ｒ２ｘ−ｘ３)/(ｘ２＋ｒ２）
以下前の解答と同じです。
座標を使うより、複ベクトルを使った方が、大概は計算の節約になる。それを目
指して複ベクトルを作ったんだから、そうなって当たり前です。それが・・・、何
と・・・、必ずしもそうなるとは限りません。和算家の臍曲がりが、俺に抵抗しあ
がって、困ったもんだなぁ・・・？？？
イエ、イエ、それは和算家のせいではありませんよ。
ユ−クリトしか無く、微分無しで、和算家はどうして解いたのかしら？
頼りのカミソリ頭脳がありますか・・・？？？
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