例　題　





＜例題＞図のように、円内に中小円３個を容れる。 外円半径１８寸、中円半径９寸であるとき、

        小円半径を問う。

＜解答＞小円半径を ｒ とする。

　　　　条件より、(ＯＢ)Ｓ＝(ＯＭ＋ＭＢ)Ｓ＝(ＯＭ)Ｓ＋２(ＯＭ・ＭＢ)＋(ＭＢ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　＝(ＯＭ)Ｓ＋２(０)＋(ＭＢ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　＝(ＯＭ)Ｓ＋(ＭＢ)Ｓ

　　　　　　　(１８−ｒ)２＝(ＯＭ)Ｓ＋(ｒ)２

　　　　　　３２４−３６ｒ＝(ＯＭ)Ｓ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(１) 


　　　　条件より、(ＡＢ)Ｓ＝(ＡＭ＋ＭＢ)Ｓ＝(ＡＭ)Ｓ＋２(ＡＭ・ＭＢ)＋(ＭＢｘＳ

　　　　　　　　　　　　　＝(ＡＭ)Ｓ＋２(０)＋(ＭＢ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　＝(ＡＯ＋ＯＭ)Ｓ＋(ＭＡ)Ｓ

　　　　　　　　(９＋ｒ)２＝(９＋|ＯＭ|)２＋(ｒ)２ 

　　　　　　　８１＋１８ｒ＝８１＋１８|ＯＭ|＋|ＯＭ|２

　　　　　　　　　　１８ｒ＝１８|ＯＭ|＋|ＯＭ|２・・・・・・・・・・・・・・・・・(２) 

　　　　(２)−(１)　　−３２４＋５６ｒ＝１８|ＯＭ|

　　　　　　　　　　　　　−１８＋３ｒ＝|ＯＭ|

　　　　上の式を（１）に代入、

　　　　　　　　　３２４−３６ｒ＝(−１８＋３ｒ)２

　　　　　　　　　　　　　　　　＝３２４−１０８ｒ＋９ｒ２

　　　　　　　　　　　　　７２ｒ＝９ｒ２

　　　　　　　　　　　　　　　８＝ｒ　　∵ ｒ≠０         (答)  ８寸　






＜例題＞外円に内接する２個の等円が、図のように交わっている。その共通弦の中点は外円の中

　　　　心である。外円の直径９寸、共通弦の長さ３寸のとき、等円の直径を求めよ。点は図に

　　　　示されてあるのを使いなさい。（明治３４年　都路村　吉田右左司）


＜解答＞条件より、

　　　　　　(ＡＯ)Ｓ＝(ＡＭ＋ＭＯ)Ｓ

　　　　　　　　　　＝(ＡＭ)Ｓ＋２(ＡＭ・ＭＯ)＋(ＭＯ)Ｓ

　　　　　　　　　　＝(ＡＭ)Ｓ＋２(０)＋(ＭＯ)Ｓ

　　　　　　　　　　＝(ＡＭ)Ｓ＋(ＭＯ)Ｓ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

　　　　等円の直径を　ｒ、中円の重なった部分の長さを ２ｘ とすると、

　　　　　　　　　|ＡＯ|＝ｒ

　　　　条件より、|ＭＯ|＝３/２

　　　　　　　　　　　９＝(２ｒ−２ｘ)＋(２ｘ)＋(２ｒ−２ｘ)

　　　　　　　　　　２ｘ＝４ｒ−９

　　　　　　　　　　　ｘ＝(４ｒ−９)/２

　　　　上の ｘ の値より

　　　　　　　　　|ＡＭ|＝ｒ−ｘ＝ｒ−(４ｒ−９)/２

　　　　上の |ＡＯ|、|ＭＯ|、|ＡＭ| を（１）に代入、　

　　　　　　　　(ｒ)２＝(ｒ−(４ｒ−９)/２)２＋(３/２)２

　　　　　　　　　　　＝ｒ２−２×ｒ(４ｒ−９)/２＋{(４ｒ−９)/２}２＋(３/２)２

　　　　　　　　　　０＝−ｒ(４ｒ−９)＋{(４ｒ−９)/２}２＋(３/２)２

　　　　　　　　　　　＝−４ｒ(４ｒ−９)＋(４ｒ−９)２＋(３)２

　　　　　　　　　　　＝−１６ｒ２＋３６ｒ＋１６ｒ２−７２ｒ＋８１＋９

　　　　　　　　　　　＝３６ｒ−７２ｒ＋８１＋９

　　　　　　　　３６ｒ＝９０

　　　　　　　　　２ｒ＝５　　　　　　　　（答）　５寸　





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