例　題　





＜例題＞直線と正方形、および等円３個が互いに図のように接している。正方形の一辺の長さを

　　　　与えて、等円径を求めよ。　　　　　（青木村　　浅川　賢治撰）


＜解答＞正方形の一辺の長さを ａ，円の半径を ｒ とし、点を図に示してあるものとする。

　　　　条件から、　　(ＢＣ)Ｓ＝(ＢＡ＋ＡＣ)＝(ＢＡ)Ｓ＋２(ＢＡ・ＡＣ)＋(ＡＣ)Ｓ

　　　　　　　　(ｒ＋ａ＋ｒ)２＝(２ｒ)＋２(ＢＡ・ＡＣ)＋(２ｒ)２

 　　　　　４ｒ２＋４ａｒ＋ａ２＝４ｒ２＋２(ＢＡ・ＡＣ)＋４ｒ２

 　　　　  ４ａｒ＋ａ２−４ｒ２＝２(ＢＡ・ＡＣ)

  　　　　　　　　　　　　　　＝２{(ＢＭ＋ＭＡ)・(ＡＭ＋ＭＣ)}

　　　　　　　　　　　　　　　＝２{ＢＭ・ＡＭ＋ＢＭ・ＭＣ＋ＭＡ・ＡＭ＋ＭＡ・ＭＣ}

　　　　　　　　　　　　　　　＝２{０＋ＢＭ・ＭＣ＋ＭＡ・ＡＭ＋０}

                                       　　　 　∵　ＢＭ⊥ＡＭ、ＭＡ⊥ＭＣ

　　　　　　　　　　　　　　　＝２{ＢＭ・ＭＣ＋ＭＡ・ＡＭ}

　　　　　　　　　　　　　　　＝２{ＢＭ・ＭＣ−ＡＭ・ＡＭ}

　　　　　　　　　　　　　　　＝２{(ｒ＋ａ/２)２−ａ２}

　　　　　　　　　　　　　　　＝２{ｒ２＋ｒａ−３ａ２/４}

　　　　　　　　　　　　　　　＝２ｒ２＋２ｒａ−３ａ２/２

　　　　　　　　　　　　　　０＝６ｒ２−２ａｒ−５ａ２/２

　　　　　　　　　　　　　　　＝１２ｒ２−４ａｒ−５ａ２

　　　　　　　　　　　　　　　＝(６ｒー５ａ)(２ｒ＋ａ)

　　　　　　　　　　　　　　　＝(６ｒー５ａ)　　∵　　(２ｒ＋ａ)≠０

　　　　　　　　　　　　　６ｒ＝５ａ

　　　　　　　　　　　　　２ｒ＝５ａ/３・・・・・・・・・・・・・・・・（答）


＜解答＞正方形の一辺の長さを ａ，円の半径を ｒ とし、点を図に示してあるものとする。

　　　　条件から、(ＡＢ)Ｓ＝(ＡＭ＋ＭＢ)Ｓ＝(ＡＭ)Ｓ＋２(ＡＭ・ＭＢ)＋(ＭＢ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　＝(ＡＭ)Ｓ＋２(０)＋(ＭＢ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　＝(ＡＭ)Ｓ＋(ＭＢ)Ｓ

　　　　　　　　　(２ｒ)２＝(ａ)２＋(ｒ＋ａ/２)２

　　　　　　　　　　　　　＝ａ２＋ｒ２＋ａｒ＋ａ２/４

　　　　　　　　　　　　０＝−３ｒ２＋ａｒ＋５ａ２/４

　　　　　　　　　　　　　＝−１２ｒ２＋４ａｒ＋５ａ２

　　　　　　　　　　　　　＝１２ｒ２−４ａｒ−５ａ２

　　　　　　　　　　　　　＝(６ｒー５ａ)(２ｒ＋ａ)

　　　　　　　　　　　　　＝(６ｒー５ａ)　　∵　　(２ｒ＋ａ)≠０

　　　　　　　　　　　６ｒ＝５ａ

　　　　　　　　　　　２ｒ＝５ａ/３・・・・・・・・・・・・・・・・（答）


注        意

対称図形のときには、図形の半分を使って解けて、計算も半分になる。






＜例題＞図のように大円と小円が交わっている。大円と小円の直径の和が ２１.６、大矢と小矢

        の和が ３.６、共通弦が ８ のとき、大円の直径はいくらか。  

＜解答＞大円と小円の中心を Ｏ，Ｇ、その半径を ａ，ｂ，弦の両端を Ａ、Ｂ，その中心を Ｍ、

        大矢と小矢のの長さを ｘ、ｙ とすると、

　　　　条件より、２ａ＋２ｂ＝２１.６

　　　　　　　　　　　ａ＋ｂ＝１０.８・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

　　　　　　　　 　　 ｘ＋ｙ＝３.６・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）

　　　　条件より、(ＯＡ)Ｓ＝(ＯＭ＋ＭＡ)Ｓ＝(ＯＭ)Ｓ＋２(ＯＭ・ＭＡ)＋(ＭＡ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　＝(ＯＭ)Ｓ＋２(０)＋(ＭＡ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　＝(ＯＭ)Ｓ＋(ＭＡ)Ｓ

　　　　　　　　　　(ａ)２＝(ａ−ｘ)２＋(４)２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・（３）


　　　　条件より、(ＧＡ)Ｓ＝(ＧＭ＋ＭＡ)Ｓ＝(ＧＭ)Ｓ＋２(ＧＭ・ＭＡ)＋(ＭＡ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　＝(ＧＭ)Ｓ＋２(０)＋(ＭＡ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　＝(ＧＭ)Ｓ＋(ＭＡ)Ｓ

　　　　　　　　　　(ｂ)２＝(ｂ−ｙ)２＋(４)２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・（４）


　　　　(３)−(４)     ａ２−ｂ２＝(ａ−ｘ)２−(ｂ−ｘ)２

　　　　　 　　 (ａ−ｂ)(ａ＋ｂ)＝{(ａ−ｘ)−(ｂ−ｙ}{(ａ−ｘ)＋(ｂ−ｙ}

                                ＝{ａ−ｂ−ｘ＋ｙ}{(ａ＋ｂ)−(ｘ＋ｙ)}

               (ａ−ｂ)(１０.８)＝{ａ−ｂ−ｘ＋ｙ}{(１０.８−３.６} 

                                ∵（１)、(２）より、ａ＋ｂ＝１０.８、ｘ＋ｙ＝３.６

　 　　　 　　 (ａ−ｂ)(１０.８)＝{ａ−ｂ−ｘ＋ｙ}{７.２} 

　　　 　　　  　　 (ａ−ｂ)(３)＝{ａ−ｂ−ｘ＋ｙ}{２}
 
  　　　　　　　 　   ２ｘ−２ｙ＝−ａ＋ｂ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（５）


　　　　(２)×２＋(５)  ４ｘ＝７.２−ａ＋ｂ

　　　　　　　　　　　　　　＝７.２−ａ＋(１０.８−ａ)   ∵（１) より、ａ＋ｂ＝１０.８

　　　　　　　　　　　　　　＝１８−２ａ

　　　　　　　　　　　　　ｘ＝(９−ａ)/２

　　　　上の式を（３）に代入、

　　　　　　　　(ａ)２＝{ａ−(９−ａ)/２}２＋(４)２ 

　　　　　　　　４ａ２＝{２ａ−(９−ａ)}２＋４×(４)２ 

　　　　　　　　　　　＝(３ａ−９)２＋６４

　　　　　　　　　　　＝９ａ２−５４ａ＋８１＋６４

　　　　　　　　　　０＝５ａ２−５４ａ＋１４５

　　　　　　　　　　　＝(５ａ−２９)(ａ−５)

　　　　　　　　　　　＝(５ａ−２９)　 ∵　ａ＝５ のとき、ｂ＝５.８、ａ＞ｂ でない。

                    ａ＝２９/５＝５.８

                  ２ａ＝１１.６・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （答） 




      
　群馬の算額　２５−１　






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