＜例題＞図のように一つの円の中に円 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ があり、Ａ、Ｂ、Ｃ の半径が ６寸、３
寸、４寸 のとき、Ｄ の半径はどれだけか。 、
＜解答＞外側の円の中心を Ｏ，点は図に示してあるものとする。
条件より、(ＡＢ)Ｓ＝(ＡＩ＋ＩＨ＋ＨＢ)Ｓ
＝(ＡＩ)Ｓ＋(ＩＨ)Ｓ＋(ＨＢ)Ｓ
＋２(ＡＩ・ＩＨ)＋２(ＡＩ・ＨＢ)＋＋２(ＩＨ・ＨＢ)
＝(ＡＩ)Ｓ＋(ＩＨ)Ｓ＋(ＨＢ)Ｓ
＋２(０)＋２(ＡＩ・ＨＢ)＋２(０)
＝(ＡＩ)Ｓ＋(ＩＨ)Ｓ＋(ＨＢ)Ｓ＋２(ＡＩ・ＨＢ)
(６＋３)２＝(６)２＋|ＩＨ|２＋(３)２−２×６×３
|ＩＨ|２＝(６＋３)２−(６)２−(３)２＋３６＝(７２)２
|ＩＨ|＝６×２１/２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
条件より、(ＡＯ)Ｓ＝(ＡＩ＋ＩＭ＋ＭＯ)Ｓ
＝(ＡＩ)Ｓ＋(ＩＭ)Ｓ＋(ＭＯ)Ｓ
＋２(ＡＩ・ＩＭ)＋２(ＡＩ・ＭＯ)＋２(ＩＭ・ＭＯ)
＝(ＡＩ)Ｓ＋(ＩＨ)Ｓ＋(ＨＢ)Ｓ
＋２(０)＋２(ＡＩ・ＭＯ)＋２(０)
＝(ＡＩ)Ｓ＋(ＩＭ)Ｓ＋(ＭＯ)Ｓ＋２(ＡＩ・ＭＯ)
(ｒ−６)２＝(６)２＋|ＩＭ|２＋(ｒ−８)２−２×６×(ｒ−８)
|ＩＭ|２＝(ｒ−６)２−(６)２−(ｒ−８)２＋２×６×(ｒ−８)
＝１６ｒ−１１２
|ＩＭ|＝{１６ｒ−１６０}１/２・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
同様にして、|ＭＨ|＝{１６ｒ−１１２}１/２・・・・・・・・・・・・・・・・・（３）
条件より、|ＩＨ|＝|ＩＭ＋ＭＨ|＝|ＩＭ|＋|ＭＨ|
上の式に (１)、(２)、(３) を代入、
{１６ｒ−１６０}１/２＋{１６ｒ−１１２}１/２
＝６×２１/２
{１６ｒ−１１２}１/２＝６×２１/２−{１６ｒ−１６０}１/２
１６ｒ−１１２＝７２−１２×２１/２{１６ｒ−１６０}１/２＋１６ｒ−１６０
−２４＝−１２×２１/２寸{１６ｒ−１６０}１/２
２＝２１/２{１６ｒ−１６０}１/２
４＝２(１６ｒ−１６０)
１＝８ｒ−８０
８１＝８ｒ
ｒ＝８１/８
Ｄ 円の半径を ｘ とし、点は図に示してあるものとする。。
(１) より、|ＰＱ|＝|ＩＨ|＝６×２１/２・・・・・・・・・・・・・・・・・・（４）
(２)、(３）と同様にして、
|ＱＮ|＝{４ｘ(ｒ−６)−４ｘ２}１/２・・・・・・・・・・・・・・（５）
|ＮＰ|＝{４ｘ(ｒ−３)−４ｘ２}１/２・・・・・・・・・・・・・・（６）
条件より、|ＱＰ|＝|ＱＮ＋ＮＰ|＝|ＱＮ|＋|ＮＰ|
上の式に (４)、(５)、(６) を代入、
{４ｘ(ｒ−６)−４ｘ２}１/２＋{４ｘ(ｒ−３)−４ｘ２}１/２＝６×２１/２
{４ｘ(ｒ−３)−４ｘ２}１/２＝６×２１/２−{４ｘ(ｒ−６)−４ｘ２}１/２
{４ｘ(ｒ−３)−４ｘ２}＝７２−１２×２１/２{４ｘ(ｒ−６)−４ｘ２}１/２
＋{４ｘ(ｒ−６)−４ｘ２}
１２ｘ＝７２−１２×２１/２{４ｘ(ｒ−６)−４ｘ２}１/２
ｘ＝６−２１/２{４ｘ(ｒ−６)−４ｘ２}１/２
ｘ−６＝−２１/２{４ｘ(ｒ−６)−４ｘ２}１/２
(ｘ−６)２＝[−２１/２{４ｘ(ｒ−６)−４ｘ２}１/２]２
ｘ２−１２ｘ＋３６＝８ｘ(ｒ−６)−８ｘ２
＝８ｘｒ−４８ｘ−８ｘ２
＝８ｘ(８１/８)−４８ｘ−８ｘ２ ∵ ｒ＝８１/８
０＝−９ｘ２＋４５ｘ−３６
＝ｘ２−５ｘ＋４
＝(ｘ−１)(ｘ−４)
＝(ｘ−１) ∵ ｘ＜４
ｘ＝１ （答） 円 Ｄ の半径は １寸
＜例題＞図のように一つの円の中に円 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ があり、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ の半径が ａ，
ｂ，ｃ、ｄ のとき、(１/ａ＋１/ｂ)２＝１/ｃｄ が成立することを示せ。
＜解答＞外側の円の中心を Ｏ，点は図に示してあるものとする。
条件より、(ＡＢ)Ｓ＝(ＡＩ＋ＩＨ＋ＨＢ)Ｓ
＝(ＡＩ)Ｓ＋(ＩＨ)Ｓ＋(ＨＢ)Ｓ
＋２(ＡＩ・ＩＨ)＋２(ＡＩ・ＨＢ)＋＋２(ＩＨ・ＨＢ)
＝(ＡＩ)Ｓ＋(ＩＨ)Ｓ＋(ＨＢ)Ｓ
＋２(０)＋２(ＡＩ・ＨＢ)＋２(０)
＝(ＡＩ)Ｓ＋(ＩＨ)Ｓ＋(ＨＢ)Ｓ＋２(ＡＩ・ＨＢ)
(ａ＋ｂ)２＝(ａ)２＋|ＩＨ|２＋(ｂ)２−２×ａｂ
|ＩＨ|２＝(ａ＋ｂ)２−(ａ)２−(ｂ)２＋２ａｂ
＝４ａｂ
|ＩＨ|＝２(ａｂ)１/２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
条件より、(ＡＯ)Ｓ＝(ＡＩ＋ＩＭ＋ＭＯ)Ｓ
＝(ＡＩ)Ｓ＋(ＩＭ)Ｓ＋(ＭＯ)Ｓ
＋２(ＡＩ・ＩＭ)＋２(ＡＩ・ＭＯ)＋２(ＩＭ・ＭＯ)
＝(ＡＩ)Ｓ＋(ＩＨ)Ｓ＋(ＨＢ)Ｓ
＋２(０)＋２(ＡＩ・ＭＯ)＋２(０)
＝(ＡＩ)Ｓ＋(ＩＭ)Ｓ＋(ＭＯ)Ｓ＋２(ＡＩ・ＭＯ)
(ｒ−ａ)２＝(ａ)２＋|ＩＭ|２＋(ｒ−２ｃ)２−２×ａ×(ｒ−２ｃ)
|ＩＭ|２＝(ｒ−ａ)２−(ａ)２−(ｒ−２ｃ)２＋２×ａ×(ｒ−２ｃ)
＝４ｒｃ−４ａｃ−４ｃ２
|ＩＭ|＝２{ｒｃ−ａｃ−ｃ２}１/２・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
同様にして、|ＭＨ|＝２{ｒｃ−ｂｃ−ｃ２}１/２・・・・・・・・・・・・・・・・（３）
条件より、|ＩＭ|＋|ＭＨ|＝|ＩＭ＋ＭＨ|＝|ＩＨ|
上の式に (１)、(２)、(３) を代入、
{ｒｃ−ａｃ−ｃ２}１/２＋{ｒｃ−ｂｃ−ｃ２}１/２＝(ａｂ)１/２
{ｒｃ−ｂｃ−ｃ２}１/２＝(ａｂ)１/２−{ｒｃ−ａｃ−ｃ２}１/２
ｒｃ−ｂｃ−ｃ２＝ａｂ−２(ａｂ)１/２{ｒｃ−ａｃ−ｃ２}１/２
＋ｒｃ−ａｃ−ｃ２
ａｃ−ｂｃ−ａｂ＝−２(ａｂ)１/２{ｒｃ−ａｃ−ｃ２}１/２
{(ａ−ｂ)ｃ−ａｂ}２＝４(ａｂ){ｒｃ−ａｃ−ｃ２}・・・・・・・・・・（４）
条件より、|ＱＮ|＋|ＮＰ|＝|ＱＮ＋ＮＰ|＝|ＱＰ|
(４) と同様にして、 (ｃ を ｄ に置き換える)
{(ａ−ｂ)ｄ−ａｂ}２＝４(ａｂ){ｒｄ−ａｄ−ｄ２}・・・・・・・・・・（５）
(４)×ｄ−(３)×ｃ、 (注意：ｒ を消去）
{(ａ−ｂ)ｃ−ａｂ}２ｄ−{(ａ−ｂ)ｄ−ａｂ}２ｃ＝４(ａｂ)(−ｄｃ２＋ｃｄ２)
(ａ−ｂ)２ｃ２ｄ−２ａｂｃｄ(ａ−ｂ)＋(ａｂ)２ｄ
−(ａ−ｂ)２ｄ２ｃ＋２ａｂｃｄ(ａ−ｂ)−(ａｂ)２ｃ
＝−４ａｂｃｄ(ｃ−ｄ)
(ａ−ｂ)２ｃｄ(ｃ−ｄ)＋(ａｂ)２(ｄ−ｃ)＝−４ａｂｃｄ(ｃ−ｄ)
(ａ−ｂ)２ｃｄ−(ａｂ)２＝−４ａｂｃｄ ∵ ｃ≠ｄ
(ａ−ｂ)２ｃｄ＋４ａｂｃｄ＝(ａｂ)２
(ａ−ｂ)２＋４ａｂ＝(ａｂ)２/ｃｄ
(ａ＋ｂ)２＝(ａｂ)２/ｃｄ
(ａ＋ｂ)２/(ａｂ)２＝１/ｃｄ
(１/ａ＋１/ｂ)２＝１/ｃｄ
一関市博物館の解答を眺めて、これは大変そうだなぁ・？ こんな予想をした
が、 それがそうでもありません。実際にやって見ると「同様にして・・・」この
手が使えて、寧ろこの方が早い。想定外は原発事故だけではありません。想定外
に容易になるのは大変に結構で、原発事故の処理もこうなれば・・・。これは和
算の解答、あるいは、一関市博物館の解答が大変に下手だったことを意味してい
ます。まぁ、下手をし、大変な遠回りとなって、それでも、答えに到達で来たの
は、相当な実力者であるに違いありません。当ＨＰの製作者のように、体力の衰
えたベテランが悪知恵を使ってスルスルと切り抜ける？ これより余程増しかも
ねぇ・・・？？？
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