＜例題＞中心が Ｏ の外円の中に２本の弦と５つの円、東円、西円、南円、北円、中円 が図のよ
うに接している。 このとき「東円の半径×西円の半径＝南円の半径×北円の半径」が成
立することを示せ。但し、東円の半径≠西円の半径、南円の半径≠北円の半径とする。
(解答者に方針を示唆するのに、元の問題を証明問題に改題）
＜解答＞東西の円の中心を Ａ、Ｂ，南北の円の中心を Ｃ、Ｅ，半径 ａ，ｂ．ｃ、ｅ，円 Ｄ の
半径を ｄ とする。
条件より、(ＣＥ)Ｓ＝(ＣＯ＋ＯＥ)Ｓ
＝(ＣＯ)Ｓ＋２(ＣＯ・ＯＥ)＋(ＯＥ)Ｓ
(ｃ＋２ｄ＋ｅ)２＝(ｒ−ｃ)２＋２(ＣＯ・ＯＥ)＋(ｒ−ｅ)２
２(ＣＯ・ＯＥ)＝(ｃ＋２ｄ＋ｅ)２−(ｒ−ｃ)２−(ｒ−ｅ)２
＝４ｄ２＋４ｃｄ＋２ｃｅ＋４ｄｅ＋２ｒｃ＋２ｒｅ−２ｒ２
ＣＯ・ＯＥ＝２ｄ２＋２ｃｄ＋ｃｅ＋２ｄｅ＋ｒｃ＋ｒｅ−ｒ２・・・・（１）
条件より、(ＣＤ)Ｓ＝(ＣＦ＋ＦＧ＋ＧＤ)Ｓ
＝(ＣＦ)Ｓ＋(ＦＧ)Ｓ＋(ＧＤ)Ｓ
＋２(ＣＦ・ＦＧ)＋２(ＣＦ・ＧＤ)＋２(ＦＧ・ＧＤ)
＝(ＣＦ)Ｓ＋(ＦＧ)Ｓ＋(ＧＤ)Ｓ＋２(０)＋２(ＣＦ・ＧＤ)＋２(０)
＝(ＣＦ)Ｓ＋(ＦＧ)Ｓ＋(ＧＤ)Ｓ＋２(ＣＦ・ＧＤ)
(ｃ＋ｄ)２＝(ｃ)２＋(ＦＧ)Ｓ＋(ｄ)２＋２(−ｃｄ)
(ＦＧ)Ｓ＝(ｃ＋ｄ)２−ｃ２−ｄＳ＋２ｃｄ
＝ｃ２＋２ｃｄ＋ｄ２−ｃ２−ｄ２＋２ｃｄ
＝４ｃｄ
|ＦＧ|＝２(ｃｄ)１/２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
同様にして、 |ＧＩ|＝２(ｄｅ)１/２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（３）
条件より、ＦＣ//ＧＤ//ＩＥ
|ＣＤ|；|ＤＥ|＝|ＦＧ|；|ＧＩ|
ｃ＋ｄ：ｄ＋ｅ＝２(ｃｄ)１/２：２(ｄｅ)１/２
＝(ｃ)１/２：(ｅ)１/２
(ｃ＋ｄ)(ｅ)１/２＝(ｄ＋ｅ)(ｃ)１/２
(ｃ＋ｄ)２(ｅ)＝(ｄ＋ｅ)２(ｃ)
(ｃ２＋２ｃｄ＋ｄ２)(ｅ)＝(ｄ２＋２ｄｅ＋ｅ２)(ｃ)
(ｃ２＋ｄ２)(ｅ)＝(ｄ２＋ｅ２)(ｃ)
ｄ２(ｅ−ｃ)＝ｃｅ(ｅ−ｃ)
ｄ２＝ｃｅ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（４）
∵ (ｅ−ｃ)≠０
条件より、(ＣＯ)Ｓ＝(ＣＦ＋ＦＨ＋ＨＯ)Ｓ
＝(ＣＦ)Ｓ＋(ＦＨ)Ｓ＋(ＨＯ)Ｓ
＋２(ＣＦ・ＦＨ)＋２(ＣＦ・ＨＯ)＋２(ＦＨ・ＨＯ)
＝(ＣＦ)Ｓ＋(ＦＨ)Ｓ＋(ＨＯ)Ｓ
＋２(０)＋２(ＣＦ・ＨＯ)＋２(０)
＝(ＣＦ)Ｓ＋(ＦＨ)Ｓ＋(ＨＯ)Ｓ＋２(ＣＦ・ＨＯ)
(ｒ−ｃ)２＝(ｃ)２＋(ＦＨ)Ｓ＋(ｒ−２ａ)２−２ｃ(ｒ−２ａ)
(ＦＨ)Ｓ＝(ｒ−ｃ)２−ｃ２−(ｒ−２ａ)Ｓ＋２ｃ(ｒ−２ａ)
＝４(ａｒ−ａ２−ａｃ)
|ＦＨ|＝２(ａｒ−ａ２−ａｃ)１/２
同様にして、|ＨＩ|＝２(ａｒ−ａ２−ａｅ)１/２
|ＭＫ|＝２(ｂｒ−ｂ２−ｂｃ)１/２
|ＫＪ|＝２(ｂｒ−ｂ２−ｂｅ)１/２
α＝ａｒ−ａ２、β＝ｂｒ−ｂ２ とおくと、
ｂα−ａβ＝ｂａｒ−ａｂｒ−ｂａ２＋ａｂ２＝−ａｂ(ａ−ｂ)・・・・（５）
|ＦＨ|＝２(α−ａｃ)１/２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（６）
|ＨＩ|＝２(α−ａｅ)１/２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（７）
|ＭＫ|＝２(β−ｂｃ)１/２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（８）
|ＫＪ|＝２(β−ｂｅ)１/２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（９）
（１）より、２ｄ２＋２ｃｄ＋ｃｅ＋２ｄｅ＋ｒｃ＋ｒｅ−ｒ２
＝ＣＯ・ＯＥ
３ｃｅ＋２ｃｄ＋２ｄｅ＋ｒｃ＋ｒｅ−ｒ２
＝ＣＯ・ＯＥ ∵ （４）より、ｄ２＝ｃｅ
＝(ＣＦ＋ＦＨ＋ＨＯ)・(ＯＨ＋ＨＩ＋ＩＥ)
＝ＣＦ・(ＯＨ＋ＨＩ＋ＩＥ)
＋ＦＨ・(ＯＨ＋ＨＩ＋ＩＥ)
＋ＨＯ・(ＯＨ＋ＨＩ＋ＩＥ)
＝ＣＦ・(ＯＨ＋ＩＥ)＋ＦＨ・ＨＩ＋ＨＯ・(ＯＨ＋ＩＥ)
＝ＣＦ・ＯＨ＋ＣＦ・ＩＥ＋ＦＨ・ＨＩ＋ＨＯ・ＯＨ＋ＨＯ・ＩＥ
＝ｃ(ｒ−２ａ)−ｃｅ
＋２(α−ａｃ)１/２×２(α−ａｅ)１/２
−(ｒ−２ａ)２＋(ｒ−２ａ)ｅ
＝ｃ(ｒ−２ａ)−ｃｅ
＋２(α−ａｃ)１/２×２(α−ａｅ)１/２
−(ｒ２−４ｒａ＋４ａ２)＋(ｒ−２ａ)ｅ
４ｃｅ＋２ｃｄ＋２ｄｅｃ＋２ａｃ＋２ａｅ−(４ｒａ−４ａ２）
＝２(α−ａｃ)１/２×２(α−ａｅ)１/２
２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ＋ａｃ＋ａｅ−２(ｒａ−ａ２）
＝２(α−ａｃ)１/２(α−ａｅ)１/２
２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ＋ａｃ＋ａｅ−２α
＝２(α−ａｃ)１/２(α−ａｅ)１/２
(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ＋ａｃ＋ａｅ−２α)２
＝{２(α−ａｃ)１/２(α−ａｅ)１/２}２
(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ＋ａｃ＋ａｅ)２−４α(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ＋ａｃ＋ａｅ)＋４α２
＝４(α−ａｃ)(α−ａｅ)
＝４α２−４(ａｃ＋ａｅ)α＋４ａｃａｅ
{(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)＋ａ(ｃ＋ｅ)}２
−４α(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)＝４ａｃａｅ・・・（10）
(１）より、２ｄ２＋２ｃｄ＋ｃｅ＋２ｄｅ＋ｒｃ＋ｒｅ−ｒ２
＝ＣＯ・ＯＥ
３ｃｅ＋２ｃｄ＋２ｄｅ＋ｒｃ＋ｒｅ−ｒ２
＝ＣＯ・ＯＥ ∵ （４）より、ｄ２＝ｃｅ
＝(ＣＭ＋ＭＫ＋ＫＯ)・(ＯＫ＋ＫＪ＋ＪＥ）
以下（10）と同様にして、 注意：(10）の ａ を ｂ、α を β 交換する。
{(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)＋ｂ(ｃ＋ｅ)}２
−４β(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)＝４ｂｃｂｅ・・・・（11）
(10)×ｂ−(11)×ａ 注意：ｒ を消去しています。
ｂ{(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)＋ａ(ｃ＋ｅ)}２
−ａ{(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)＋ｂ(ｃ＋ｅ)}２
−４(ｂα−ａβ)(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)
＝４ａｂｃｅ(ａ−ｂ)
注 意
これで ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ の関係式が求まった。この
後は因数分解をして、不要な因数を剥がしていけば、最後
に砂金のような答えが残ります。
−(ａ−ｂ)(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)２＋ａｂ(ａ−ｂ)(ｃ＋ｅ)２}
−４{−ａｂ(ａ−ｂ)}(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)
＝４ａｂｃｅ(ａ−ｂ)
−(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)２＋ａｂ(ｃ＋ｅ)２
＋４ａｂ(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)
＝４ａｂｃｅ ∵ (ａ−ｂ)≠０
ａｂ(ｃ＋ｅ)２＋４ａｂ(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)−４ａｂｃｅ
＝(２ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)２
ａｂ{(ｃ＋ｅ)２＋４(ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)}
＝(２ｄ２＋ｃｄ＋ｄｅ)２ ∵ （４）より、ｄ２＝ｃｅ
＝ｄ２(２ｄ＋ｃ＋ｅ)２
＝ｄ２{４ｄ２＋４ｄ(ｃ＋ｅ)＋(ｃ＋ｅ)２}
＝ｃｅ{４ｃｅ＋４ｄ(ｃ＋ｅ)＋(ｃ＋ｅ)２}
＝ｃｅ{(ｃ＋ｅ)２＋４(ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)}
ａｂ＝ｃｅ ∵ (ｃ＋ｅ)２＋４(ｃｅ＋ｃｄ＋ｄｅ)≠０
上の式より、東円の半径×西円の半径＝南円の半径×北円の半径
この問題を複ベクトル無しで解けたのか知ら・・・？ 和算家の頭脳を想像出
来ませんねぇ。まぁ・・・、複ベクトルを使っても大変は大変ですが、上級問題
にする程のことはなく、計算が厄介なだけでしょう。最後のところの計算を切り
抜けるには、ベテランの狡さを必要とします。
この解答を一関市博物館様に送っても，多分、正解にしてもらえません。だか
らと言って、ユ−クリット幾何の解答に書き変へるのは、とてもやっていられま
せん。無理をして試みれば、それは上級問題になるでかも・・・。まぁ、どの程
度の問題を上級になされているのかは定かではありません。
江戸のカミソリ頭脳が、それぞれの流派の存亡を掛けて、難問を考えたのでし
ょう。まぁ・・・、何と・・・、それがこの程度のものだったのか。こんな嫌ら
しい問題は数学とは言えません。それでも問題として登場すれば、複ベクトルを
使って、軽く一蹴りしてやりましょう。
一関市博物館は相当な秀才を集めてＨＰが運営されておられるようです。
天才を育む揺り籠となり得て、実体は、ちょっとした大学を凌ぐかも知れませ
ん。こんな団体が全国のあちこちに群雄割拠して欲しいねぇ・・・・！ さすれ
ば、世界に羽ばたく数学者が日本に誕生するかも知れません。江戸の昔に、これ
があったんであるから、現在の日本に期待しても良いでしょう。
大学がこの役割を果たすべきなのでしょうが・・・、大学はねぇ・・・、大学
は余りにも偉くなり過ぎたので・・・、月満つれば・・・。これは万物の抗し切
れない定め、もう期待は出来ないのかも・・・？？？ せいぜいが、欧米の横文
字で書かれた文献を輸入するくらいのもの、まぁ、これでも、我々庶民が世界を
覗き見る窓口として、そこそこの役割が無いこともありません。
落ちさんの大学教授連中は、ユ−クリットに洗脳されて？
この批判はどうでしょうかねぇ・・・？ 最近は「産学協同」と言って、大学
が世の中の現場に出向かれつつあるようで、その実体は変わりつつあります。ま
ぁ、文句を並べて見ても・・・、何しろ、教授連中は、入学試験、更には、学内
の試験によって選び抜かれた秀才ですから、頑張って、底辺、あるいは、基盤を
支えてもらわねば日本の将来はありません。それこそが秀才の役割であって、天
才を育む揺り籠になってもらわなくてはなりません・・・！！！
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