例 題 


<例題>中心が O の外円の中に2本の弦と5つの円、東円、西円、南円、北円、中円 が図のよ

    うに接している。 このとき「東円の半径×西円の半径=南円の半径×北円の半径」が成

    立することを示せ。但し、東円の半径≠西円の半径、南円の半径≠北円の半径とする。
(解答者に方針を示唆するのに、元の問題を証明問題に改題)
<解答>東西の円の中心を A、B,南北の円の中心を C、E,半径 a,b.c、e,円 D の     半径を d とする。
    条件より、(CE)=(CO+OE)              =(CO)+2(CO・OE)+(OE)       (c+2d+e)=(r−c)+2(CO・OE)+(r−e)         2(CO・OE)=(c+2d+e)−(r−c)−(r−e)              =4d+4cd+2ce+4de+2rc+2re−2r         CO・OE=2d+2cd+ce+2de+rc+re−r・・・・(1)     条件より、(CD)=(CF+FG+GD)              =(CF)+(FG)+(GD)                   +2(CF・FG)+2(CF・GD)+2(FG・GD)              =(CF)+(FG)+(GD)+2(0)+2(CF・GD)+2(0)              =(CF)+(FG)+(GD)+2(CF・GD)          (c+d)=(c)+(FG)+(d)+2(−cd)           (FG)=(c+d)−c−d+2cd               =c+2cd+d−c−d+2cd               =4cd            |FG|=2(cd)1/2 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)     同様にして、 |GI|=2(de)1/2 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)     条件より、FC//GD//IE |CD|;|DE|=|FG|;|GI|            c+d:d+e=2(cd)1/2:2(de)1/2 =(c)1/2:(e)1/2            (c+d)(e)1/2=(d+e)(c)1/2            (c+d)(e)=(d+e)(c)       (c+2cd+d)(e)=(d+2de+e)(c)        (c+d)(e)=(d+e)(c)             d(e−c)=ce(e−c)                 d=ce・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)                   ∵ (e−c)≠0     条件より、(CO)=(CF+FH+HO)              =(CF)+(FH)+(HO)                   +2(CF・FH)+2(CF・HO)+2(FH・HO)              =(CF)+(FH)+(HO)                   +2(0)+2(CF・HO)+2(0)              =(CF)+(FH)+(HO)+2(CF・HO)          (r−c)=(c)+(FH)+(r−2a)−2c(r−2a)           (FH)=(r−c)−c−(r−2a)+2c(r−2a)               =4(ar−a−ac)            |FH|=2(ar−a−ac)1/2     同様にして、 |HI|=2(ar−a−ae)1/2 |MK|=2(br−b−bc)1/2 |KJ|=2(br−b−be)1/2     α=ar−a、β=br−b とおくと、          bα−aβ=bar−abr−ba+ab=−ab(a−b)・・・・(5)            |FH|=2(α−ac)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)      |HI|=2(α−ae)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7) |MK|=2(β−bc)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8) |KJ|=2(β−be)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9) (1)より、2d+2cd+ce+2de+rc+re−r =CO・OE 3ce+2cd+2de+rc+re−r              =CO・OE  ∵ (4)より、d=ce              =(CF+FH+HO)・(OH+HI+IE)              =CF・(OH+HI+IE)                    +FH・(OH+HI+IE)                         +HO・(OH+HI+IE)              =CF・(OH+IE)+FH・HI+HO・(OH+IE)              =CF・OH+CF・IE+FH・HI+HO・OH+HO・IE              =c(r−2a)−ce +2(α−ac)1/2×2(α−ae)1/2 −(r−2a)+(r−2a)e              =c(r−2a)−ce +2(α−ac)1/2×2(α−ae)1/2 −(r−4ra+4a)+(r−2a)e          4ce+2cd+2dec+2ac+2ae−(4ra−4a)              =2(α−ac)1/2×2(α−ae)1/2          2ce+cd+de+ac+ae−2(ra−a)              =2(α−ac)1/2(α−ae)1/2          2ce+cd+de+ac+ae−2α              =2(α−ac)1/2(α−ae)1/2         (2ce+cd+de+ac+ae−2α) ={2(α−ac)1/2(α−ae)1/2}     (2ce+cd+de+ac+ae)−4α(2ce+cd+de+ac+ae)+4α =4(α−ac)(α−ae) =4α−4(ac+ae)α+4acae         {(2ce+cd+de)+a(c+e)} −4α(2ce+cd+de)=4acae・・・・・(10)       (1)より、2d+2cd+ce+2de+rc+re−r              =CO・OE 3ce+2cd+2de+rc+re−r              =CO・OE  ∵ (4)より、d=ce              =(CM+MK+KO)・(OK+KJ+JE)     以下(10)と同様にして、 注意:(10)の a を b、α を β 交換する。         {(2ce+cd+de)+b(c+e)}                   −4β(2ce+cd+de)=4bcbe・・・・・(11)     (10)×b−(11)×a     注意:r を消去しています。     b{(2ce+cd+de)+a(c+e)} −a{(2ce+cd+de)+b(c+e)}                   −4(bα−aβ)(2ce+cd+de)                          =4abce(a−b)
注    意  これで a,b,c,d,e の関係式が求まった。この 後は因数分解をして、不要な因数を剥がしていけば、最後 に砂金のような答えが残ります。           
  −(aーb)(2ce+cd+de)+ab(a−b)(c+e)}                     −4{−ab(a−b)}(2ce+cd+de)                          =4abce(a−b)  −(2ce+cd+de)+ab(c+e)                  +4ab(2ce+cd+de)                        =4abce  ∵ (a−b)≠0 ab(c+e)+4ab(2ce+cd+de)−4abce              =(2ce+cd+de) ab{(c+e)+4(ce+cd+de)}              =(2d+cd+de)  ∵ (4)より、d=ce              =d(2d+c+e)              =d{4d+4d(c+e)+(c+e)}              =ce{4ce+4d(c+e)+(c+e)}              =ce{(c+e)+4(ce+cd+de)}        ab=ce    ∵ (c+e)+4(ce+cd+de)≠0     上の式より、東円の半径×西円の半径=南円の半径×北円の半径
 この問題を複ベクトル無しで解けたのか知ら・・・? 和算家の頭脳を想像出 来ませんねぇ。まぁ・・・、複ベクトルを使っても大変は大変ですが、上級問題 にする程のことはなく、計算が厄介なだけでしょう。最後のところの計算を切り 抜けるには、ベテランの狡さを必要とします。                 この解答を一関市博物館様に送っても,多分、正解にしてもらえません。だか らと言って、ユークリット幾何の解答に書き変へるのは、とてもやっていられま せん。無理をして試みれば、それは上級問題になるでかも・・・。まぁ、どの程 度の問題を上級になされているのかは定かではありません。                     江戸のカミソリ頭脳が、それぞれの流派の存亡を掛けて、難問を考えたのでし ょう。まぁ・・・、何と・・・、それがこの程度のものだったのか。こんな嫌ら しい問題は数学とは言えません。それでも問題として登場すれば、複ベクトルを 使って、軽く一蹴りしてやりましょう。                  
 一関市博物館 
一関市博物館は相当な秀才を集めてHPが運営されておられるようです。  天才を育む揺り籠となり得て、実体は、ちょっとした大学を凌ぐかも知れませ ん。こんな団体が全国のあちこちに群雄割拠して欲しいねぇ・・・・! さすれ ば、世界に羽ばたく数学者が日本に誕生するかも知れません。江戸の昔に、これ があったんであるから、現在の日本に期待しても良いでしょう。         大学がこの役割を果たすべきなのでしょうが・・・、大学はねぇ・・・、大学 は余りにも偉くなり過ぎたので・・・、月満つれば・・・。これは万物の抗し切 れない定め、もう期待は出来ないのかも・・・??? せいぜいが、欧米の横文 字で書かれた文献を輸入するくらいのもの、まぁ、これでも、我々庶民が世界を 覗き見る窓口として、そこそこの役割が無いこともありません。        落ちさんの大学教授連中は、ユークリットに洗脳されて?  この批判はどうでしょうかねぇ・・・? 最近は「産学協同」と言って、大学 が世の中の現場に出向かれつつあるようで、その実体は変わりつつあります。ま ぁ、文句を並べて見ても・・・、何しろ、教授連中は、入学試験、更には、学内 の試験によって選び抜かれた秀才ですから、頑張って、底辺、あるいは、基盤を 支えてもらわねば日本の将来はありません。それこそが秀才の役割であって、天 才を育む揺り籠になってもらわなくてはなりません・・・!!!       

今井先生にお願いがあります。  3ce+2cd+2de+rc+re−r=CO・OE を使われては、現 在の中高生用の解答に書き変えることが出来ません。これでは、我々には何らメ リットがありません。学校のテストに使える、あるいは、使えるように書き変え ることが出来る答案も追加して下さい。                    「贅沢を言うなよ・・・」と切り捨てたいところですが、当HPは決してそん なこをしません。分かりました。しばらくお待ちください。但し、トライをして 見ますが、出来るかどうか、今のところ分かりません。一関市博物館の「正解」 を眺めれば、分かるかも知れません。まぁ・・・、平成26年度の上級問題の解 答から推測すれば、ちょっと当てにはなりません。               一関市博物館の「正解」が出ましたねぇ・・・。これを理解するのは大変に難 しいが、多分正解なのでしょう。出題者の解答ですから、間違いはないと思いま す。当HPの製作者に「正解」と判断が出来る能力が無いだけです。一関市博物 館さんには、その道の相当な専門家がおられるようです。           この問題に87名の解答者があり、51名が正解・・・???  ちょっと「眉唾」な気がしないでもありませんが、信用しましょう。日本じゅ うから解答を募集すれば、それぐらあるのかも知れません。まぁ、この問題は一 般人には難し過ぎて、高校数学の教科書にはとても入れられません。これは既存 の幾何学が限界にきているのかも??? ユークリット幾何、あるいは、解析幾 何、・・・、等の、既存の数学に限るから大変になるのであって、複ベクトルを 使うなら、ちょっと計算を頑張って、誰にでも解けます。          
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