＜例題＞点 Ｏ を中心とする半径 ｒ の円の中に、点 Ｇ を中心とする半径 ｇ の円が内接して
いる。 更に、円 Ｏ に内接し、かつ、円 Ｇ に外接する半径 ｐ の円 Ｐ(中心がＰ)が
ある。 ２点 Ｏ、Ｇ を通る円 Ｇ の直径を ＡＢ、円 Ｏ の直径を ＡＣ とする。この
とき「ＯＧ⊥ＢＰ ⇒ ２ｇａ−ａｐ−２ｇｐ＝０」が成立することを示せ。
但し、|ＢＨ|＝|ＨＣ|＝ａ、|ＤＨ|＝ｂ、|ＤＢ|＝|ＤＣ|＝ｃ とする。
次に ＯＧ⊥ＢＰ のとき、(ＢＰ)Ｓ を求めよ。また、ＢＣ を底辺とする２等辺三角
形ＢＤＣ(Ｈ は ＢＣ の中点、 Ｄ は円 Ｏ の周上にある) の辺 ＢＤ と円 Ｐ が接す
ることを示せ。 (和算の問題を解き易いように改題、下に元の和算の問題があります)
＜解答＞条件から、点 Ｐ のベクトル方程式は、
(ＯＰ)Ｓ＝(ｒ−ｐ)２＝(ｇ＋ａ−ｐ)２・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
(ＧＰ)Ｓ＝(ｇ＋ｐ)２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
(１)−(２)
(ＯＰ)Ｓ−(ＧＰ)Ｓ＝(ｇ＋ａ−ｐ)２−(ｇ＋ｐ)２
ａ２＋２ｇａ−２ａｐ−４ｇｐ
＝(ＯＰ)Ｓ−(ＧＰ)Ｓ
＝(ＯＰ−ＧＰ)・(ＯＰ＋ＧＰ)
＝(ＯＰ＋ＰＧ)・(ＯＰ＋ＧＰ)
＝ＯＧ・(ＯＢ＋ＢＰ＋ＧＢ＋ＢＰ)
＝ＯＧ・(ＯＢ＋ＧＢ＋２・ＢＰ)
＝ＯＧ・ＯＢ＋ＯＧ・ＧＢ＋２(ＯＧ・ＢＰ)
＝(−ａ、０)・(ｇ−ａ，０)＋(−ａ、０)・(ｇ，０)＋２(ＯＧ・ＢＰ)
＝−ａｇ＋ａ２−ａｇ＋２(ＯＧ・ＢＰ)
２(ＯＧ・ＢＰ)＝４ｇａ−２ａｐ−４ｇｐ
ＯＧ・ＢＰ＝２ｇａ−ａｐ−２ｇｐ
条件より、ＯＧ⊥ＢＰ であるから、ＯＧ・ＢＰ＝０
上の式より、２ｇａ−ａｐ−２ｇｐ＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（３）
条件より、ＯＧ⊥ＢＰ であるから、
(ＢＰ)Ｓ＝(ＧＰ)Ｓー(ＧＢ)Ｓ
＝(ｇ＋ｐ)２ー(ｇ)２
＝ｐ２＋２ｇｐ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（４）
△ＡＣＤ∽△ＤＣＨ より、２ｒ：ｃ＝ｃ：ａ
ｃ２＝２ａｒ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（５）
△ＢＩＰ∽△ＤＨＢ より、|ＰＩ|：|ＢＰ|＝|ＢＨ|：|ＨＤ|＝ａ：ｃ
|ＰＩ|＝(ａ/ｃ)|ＢＰ|・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（６）
(３)、(４)、(５)、(６) より、
|ＰＩ|２＝(ａ２/ｃ２)|ＢＰ|２
＝(ａ２/２ａｒ)(ｐ２＋２ｇｐ)
＝ｐ(ａ/２ｒ)(ｐ＋２ｇ)
＝ｐ(ｐａ＋２ａｇ)/２ｒ
＝ｐ(ｐａ＋ａｐ＋２ｇｐ)/２ｒ
＝ｐ(２ｐａ＋２ｇｐ)/２ｒ
＝ｐ２(２ａ＋２ｇ)/２ｒ
＝ｐ２(２ｒ)/２ｒ
＝ｐ２
|ＰＩ|＝ｐ
∴ 辺 ＢＤ と円 Ｐ が接する。
＜問題＞１８０３年に群馬県に掲げられた算額の問題。大きな緑の円の直径上に底辺を持つ二等
辺三角形が円の内側に接している。赤い円は三角形の１つの頂点を通り、緑の円に図の
ように内接。さらに，この赤い円と三角形に外接し緑の円に内接する青い円がある。青
い円の中心と赤い円と三角形の接点を通る線分が，緑の円の直径と直交することを示せ。
江戸時代にも、現在の落ちこぼれの大学教授のような嫌らしい奴がいたらしく、この
問題は大変に解き難い。これは解答者を苦しめる目的で一細工したただけです。上の問
題をちょいとひねってやれば、つまり「|ＰＩ|＝ｐ から ＯＧ・ＢＰ＝０ へ」にすれ
ば、誰もそう簡単には解けないだろう・・・？ こんな意地悪なことを考える輩を、複
べクトルを使って一蹴りしてやりましょう。
ユークリト幾何学では、命題の逆、裏、対偶は重大問題です。これがないと手詰まり
となることがあります。これは「幾何学として十分に発達を遂げていない」つまり「右
から左へ進むかことは出来るが、左から右へ進むことが出来ない」そんな幾何学である
ことを意味しています。複ベクトル幾何学では、逆、裏、対偶が必要となりません。手
詰まりになることはないからです。まぁ、そんな大それたことを棚上げにして、とりあ
えず，目先のこと考えれば「複ベクトルは落ちさんの救済になる・・・？？？」と予想
されます。
数学の解答は爽やかでありたい。これによって、落ちこぼれを一人でも少なく。これ
には、数学「体系」は言うに及ばず、問題を作る方にも協力しもらわないことには、ど
うにもなりません。皆さん・・・、誤解しないで下ください。「数学の質を落としなさ
い」と言っている訳ではありません。かつて、文科省の木っ端役人が考えた「ゆとりの
教育」とは全然違います。質はどこまでも高く・・・、奥の深かさは西洋の数学を超え
る程に深く・・・、これによって、科学文明の次に来る文明の創造を我々のアジアに・
・・、その中心が日本に・・・、てな訳に行きませんかねぇ・・・？？？
ここ数百年全盛をを誇った西洋の数学も、日本に持ってきて、無常のそよ風の前に置
いて見れば・・・？？？ まぁ、これは人間が創造したものの、更には、人間そのもの
のの、つまり、全てのものの避けられない定めです。
これは方丈記からのパクリで、鴨長明は仏教思想から？？？
＜解答＞中心が Ｐ，Ｇ、Ｏ の円の半径を ｐ、ｇ、ｒ とし、|ＢＨ|＝|ＨＣ|＝ａ、|ＤＨ|＝ｂ
|ＤＢ|＝|ＤＣ|＝ｃ とする。
条件から、点 Ｐ のベクトル方程式は、
(ＯＰ)Ｓ＝(ｒ−ｐ)２＝(ｇ＋ａ−ｐ)２ ・・・・・・・・・・・・・・（１）
(ＧＰ)Ｓ＝(ｇ＋ｐ)２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
(１)、(２）から、上の解答と同様にして、
ＯＧ・ＢＰ＝２ｇａ−ａｐ−２ｇｐ＝ｍ とおく。
△ＡＨＤ∽△ＤＨＡ より、２ｐ＋ａ：ｂ＝ｂ：ａ
ｂ２＝２ｐａ＋ａ２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（３）
条件より、(ＰＯ)Ｓ＝(ＰＧ＋ＧＯ)Ｓ
＝(ＰＧ)Ｓ＋２(ＰＧ・ＧＯ)＋(ＧＯ)Ｓ
２(ＰＧ・ＧＯ)＝(ＰＯ)Ｓ−(ＰＧ)Ｓ−(ＧＯ)Ｓ
＝(ｇ＋ａ−ｐ)２−(ｇ＋ｐ)２−(ａ)２
＝２ｇａ−２ａｐ−４ｐｇ
＝４ｇａ−２ａｐ−４ｐｇ−２ｇａ
＝２(２ｇａ−ａｐ−２ｐｇ)−２ｇａ
＝２ｍ−２ｇａ
２(ＰＧ・ＧＢ)＝２(ｍ−ｇａ)(ｇ/ａ) ∵ ＧＯ：ＧＢ＝ａ：ｇ
条件と上の式より、
(ＰＢ)Ｓ＝(ＰＧ＋ＧＢ)Ｓ
＝(ＰＧ)Ｓ＋２(ＰＧ・ＧＢ)＋(ＧＢ)Ｓ
＝(ｐ＋ｇ)２＋２(ｍ−ｇａ)(ｇ/ａ)＋(ｇ)２
＝ｐ２＋２ｇ２＋２ｐｇ＋２(ｍ−ｇａ)(ｇ/ａ)
＝ｐ２＋２ｐｇ＋２ｍｇ/ａ・・・・・・・・・・・・・・・・（４）
条件より、ＢＰ＝ＢＩ＋ＩＰ＝ｘ・(ａ，ｂ)＋ｙ・(−ｂ、ａ) とおくと、
|ＩＰ|＝ｐ より、|ｙ・(−ｂ、ａ)|＝ｐ
ｙｃ＝ｐ
ｙ＝ｐ/ｃ
ＢＰ＝ｘ・(ａ，ｂ)＋(ｐ/ｃ)・(−ｂ、ａ)
上の式より、ｍ＝ＯＧ・ＢＰ
＝(−ａ、０)・{ｘ・(ａ，ｂ)}＋(−ａ、０)・{(ｐ/ｃ)・(−ｂ、ａ)}
＝−ａ２ｘ＋(ａｂｐ/ｃ)
ｘ＝(ａｂｐ/ｃ−ｍ)/ａ２
ＢＰ＝(ａｂｐ/ｃ−ｍ)/ａ２・(ａ，ｂ)＋(ｐ/ｃ)・(−ｂ、ａ)
(ＰＢ)Ｓ＝{(ａｂｐ/ｃ−ｍ)２/ａ４}ｃ２＋(ｐ２/ｃ２)ｃ２
＝(ａｂｐ−ｍｃ)２/ａ４＋ｐ２・・・・・・・・・・・・・・・・（５）
(３)、(４)、(５) より、
(ａｂｐ−ｍｃ)２/ａ４＋ｐ２
＝ｐ２＋２ｐｇ＋２ｍｇ/ａ
(ａｂｐ−ｍｃ)２/ａ４
＝２ｐｇ＋２ｍｇ/ａ
(ａｂｐ−ｍｃ)２＝２ｐｇａ４＋２ｍｇａ３
０＝ｃ２ｍ２−(２ａｂｐｃ＋２ｇａ３)ｍ−２ｐｇａ４＋(ａｂｐ)２
＝ｃ２ｍ２−２(ａｂｐｃ＋ｇａ３)ｍ−ａ２ｐ{２ｇａ２−ｂ２ｐ}
＝ｃ２ｍ２−２(ａｂｐｃ＋ｇａ３)ｍ
−ａ２ｐ{２ｇａ２−(２ｑａ＋ａ２)ｐ} ∵（３）より、
＝ｃ２ｍ２−２(ａｂｐｃ＋ｇａ３)ｍ
−ａ２ｐ[２ｇａ２−２ｐｑａ−ａ２ｐ}
＝ｃ２ｍ２−２(ａｂｐｃ＋ｇａ３)ｍ−ａ３ｐ[２ｇａ−ａｐ−２ｐｑ}
＝ｃ２ｍ２−２(ａｂｐｃ＋ｇａ３)ｍ−ａ３ｐｍ
∵ ２ｇａ−ａｐ−２ｇｐ＝ｍ
＝ｃ２ｍ２−２(ａｂｐｃ＋ｇａ３＋ｐａ３/２)ｍ
＝ｍ{ｃ２ｍ−２(ａｂｐｃ＋ｇａ３＋ｐａ３/２)}
＝ｍ{ｍ−２(ａｂｐｃ＋ｇａ３＋ｐａ３/２)/ｃ２}
＝ｍ ∵ ｍ＝２ｇａ−ａｐ−２ｇｐ
≠２(ａｂｐｃ＋ｇａ３＋ｐａ３/２)/ｃ２
＝２ｇａ−ａｐ−２ｇｐ
＝ＯＧ・ＢＰ
∴ ＯＧ⊥ＢＰ
こんな問題を、江戸のカミソリ頭脳が、ユークリット幾何学を使って解けたの
は驚きです。イエ、イエ、カミソリさえあれば、ユークリット幾何学の方が、寧
ろスンナリと行くのかも知れません。こんな問題が可也あります。だから、ユー
クリット幾何学は捨てられません。「こんな算額は、奉納された神社の神様にも
分かるかどうか知ら・・・？？？」 イエ、イエ、神様は全知全能でいらっしゃ
います。神を冒涜する者には祟りがありますよ。
ここに和算による解答があります。私には理解出来ませんが、日本で名の知れ
た新聞社のサイトですから、多分、間違いはなかろうと思います。
そうねぇ・・・、新聞、テレビ、あるいは、大学教授に盲目的に追従すのは
いけませんねぇ・・・、反省しています。
当ＨＰには「文科省の木っ端役人、落ちさんの大学教授」こんなことがあちこ
ありますよ。権威に屈っしたＨＰではありません。
＜解答＞中心が Ｐ，Ｇ、Ｏ の円の半径を ｐ、ｇ、ｒ とし、|ＢＨ|＝|ＨＣ|＝ａ、|ＤＨ|＝ｂ
|ＤＢ|＝|ＤＣ|＝ｃ とする。
条件より、(ＰＯ)Ｓ＝(ＰＧ＋ＧＯ)Ｓ
＝(ＰＧ)Ｓ＋２(ＰＧ・ＧＯ)＋(ＧＯ)Ｓ
２(ＰＧ・ＧＯ)＝(ＰＯ)Ｓ−(ＰＧ)Ｓ−(ＧＯ)Ｓ
＝(ｇ＋ａ−ｐ)２−(ｇ＋ｐ)２−(ａ)２
＝２ｇａ−２ａｐ−４ｐｇ
(ＰＧ・ＧＯ)＝ｇａ−ａｐ−２ｐｇ
(ＰＧ＊ＧＯ)２＝(|ＰＧ||ＧＯ|)２−(ＰＧ・ＧＯ)２
＝(ｐａ＋ｇａ)２−(ｇａ−ａｐ−２ｐｇ)２
＝{(ｐａ＋ｇａ)−(ｇａ−ａｐ−２ｐｇ)}
{(ｐａ＋ｇａ)＋(ｇａ−ａｐ−２ｐｇ)}
＝{(２ｐａ＋２ｐｇ)}{２ｇａ−２ｐｇ}
＝４ｐｇ(ａ＋ｇ)(ａ−ｐ)
＝４ｐｇｒ(ａ−ｐ)
(ＰＧ＊ＧＯ)＝−２{ｐｇｒ(ａ−ｐ)}１/２
上の式から
ＢＰ・ＧＯ＝(ＢＧ＋ＧＰ)・ＧＯ＝ＢＧ・ＧＯ＋ＧＰ・ＧＯ
＝ｇａ−ａｐ−２ｐｇ＋(ｇ，０)・(ａ，０)
＝２ｇａ−ａｐ−２ｐｇ＝ｍ とおく。
ＢＰ＊ＧＯ＝(ＢＧ＋ＧＰ)＊ＧＯ＝ＢＧ＊ＧＯ＋ＧＰ＊ＧＯ
＝０＋ＧＰ＊ＧＯ＝−ＰＧ＊ＧＯ
＝２{ｐｇｒ(ａ−ｐ)}１/２
上の式から
ＢＰ＊ＢＤ＝ＢＰ＊(ＢＨ＋ＨＤ)＝ＢＰ＊ＢＨ＋ＢＰ＊ＨＤ
＝ＢＰ＊ＧＯ＋(ｂ/ａ)(ＢＰ＊ＧＯ×Ｉ)
∵ ＧＯ×Ｉ：ＨＤ＝ａ：ｂ
＝ＢＰ＊ＧＯ−(ｂ/ａ)(ＢＰ・ＧＯ)
＝２{ｐｇｒ(ａ−ｐ)}１/２−(ｂ/ａ)ｍ
上の式から、◎＝ＢＰ＋ＰＩ＋ＩＢ
◎＊ＢＤ＝ＢＰ＊ＢＤ＋ＰＩ＊ＢＤ＋ＩＢ＊ＢＤ
０＝ＢＰ＊ＢＤ＋ＰＩ＊ＢＤ＋０
＝２{ｐｇｒ(ａ−ｐ)}１/２−(ｂ/ａ)ｍ−ｐｃin(π/２)ａ
＝２ａ{ｐｇｒ(ａ−ｐ)}１/２−ｂｍ−ｐｃａ
２ａ{ｐｇｒ(ａ−ｐ)}１/２
＝ｂｍ＋ｐｃａ
４ａ２{ｐｇｒ(ａ−ｐ)}
＝ｂ２ｍ２＋２ｂｐｃａｍ＋ｐ２ｃ２ａ２
０＝ｂ２ｍ２＋２ｂｐｃａｍ＋ｐ２ｃ２ａ２−４ａ２{ｐｇｒ(ａ−ｐ)}
＝ｂ２ｍ２＋２ｂｐｃａｍ＋ａ２ｐ{ｐｃ２−４ｇｒ(ａ−ｐ)}
＝ｂ２ｍ２＋２ｂｐｃａｍ
＋ａ２ｐ{ｐ×２ｒａ−４ｇｒ(ａ−ｐ)} ∵ ｃ２＝２ａｒ
＝ｂ２ｍ２＋２ｂｐｃａｍ＋２ａ２ｐｒ{ｐａ−２ｇ(ａ−ｐ)}
＝ｂ２ｍ２＋２ｂｐｃａｍ−２ａ２ｐｒ{２ｇａ−ａｐ−２ｐｇ}
＝ｂ２ｍ２＋２ｂｐｃａｍ−２ａ２ｐｒｍ
＝ｍ{ｍ−(２ａ２ｐｒ−２ｂｐｃａ)/ｂ２}
＝ｍ ∵ ｍ＝２ｇａ−ａｐ−２ｇｐ≠(２ａ２ｐｒ−２ｂｐｃａ)/ｂ２
＝２ｇａ−ａｐ−２ｐｇ
＝ＢＰ・ＧＯ
∴ ＢＰ⊥ＧＯ
補 足
(ａ、ｂ)＊{(ｃ，ｄ)×Ｉ}＝−(ａ、ｂ)・(ｃ，ｄ)
その他の公式は下記リンク先にあります。
複べクトルの内積、外積を使うと、上の解答になり、これが完成版です。現在
の文科省の木っ端役人が理解不能ですから、当分は使えません。そのうちに、理
解可能なお役人が登場するでしょう。それまで待つ必要があります。数学の進歩
が文科省の木っ端役人によって頭を押さえつけられるのは不幸です。現在進行形
であるこの不幸を誰か何とか出来ませんか・・・？？？
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