＜例題＞図のように、円の団扇の中に半径が ５ の等円３つと、小半円、大半円が接している。
このとき、団扇の円の半径を求めなさい。
＜解答＞団扇の円の半径を ｒ、大半円、小半円、ａ，ｂ，小半円の直径と円周との距離(最大値)
を ｃ とし、|ＰＩ|＝|ＱＩ|＝β、|ＩＪ|＝α とし、点は図に示してあるものとする。
条件より、１０＋ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｒ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
条件より、 (ＢＥ)Ｓ＝(ＢＯ＋ＯＥ)Ｓ
＝(ＢＯ)Ｓ＋２(ＢＯ・ＯＥ)＋(ＯＥ)Ｓ
＝(ＢＯ)Ｓ＋２{(ＢＨ＋ＨＯ)・(ＯＨ＋ＨＥ)}＋(ＯＥ)Ｓ
＝(ＢＯ)Ｓ＋２{(ＢＨ＋ＨＯ)・(−ＨＯ＋ＢＨ)}＋(ＯＥ)Ｓ
＝(ＢＯ)Ｓ＋２{(ＢＨ)Ｓ−(ＨＯ)Ｓ}＋(ＯＥ)Ｓ
４(ＢＨ)Ｓ＝２(ＢＯ)Ｓ＋２{(ＢＨ)Ｓ−(ＨＯ)Ｓ}
２(ＢＨ)Ｓ＝２(ＢＯ)Ｓ−２(ＨＯ)Ｓ
(ＢＨ)Ｓ＝(ＢＯ)Ｓ−(ＨＯ)Ｓ
(ａ)２＝(ｒ)Ｓ−(ｒ−１０)Ｓ
ａ２＝２０ｒ−１００ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
同様にして、(ＣＤ)Ｓ＝(ＣＯ＋ＯＥ)Ｓ から、
ｂ２＝２ｃｒ−ｃ２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（３）
同様にして、(ＰＱ)Ｓ＝(ＰＪ＋ＪＱ)Ｓ から、
β２＝(ｂ＋５)Ｓ−α２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（４）
同様にして、(ＰＱ)Ｓ＝(ＰＯ＋ＯＱ)Ｓ から、
β２＝(ｒ−５)Ｓ−(ａ＋ｂ−ｒ＋１０−α)２ ・・・・・・・・（５）
同様にして、(ＰＱ)Ｓ＝(ＰＨ＋ＨＱ)Ｓ から、
β２＝(ａ＋５)Ｓ−(ａ＋ｂ−α)２ ・・・・・・・・・・・・・（６）
(１) より、ｃ＝２ｒ−１０−ａ−ｂ
上の式を（３）に代入、
ｂ２＝２(２ｒ−１０−ａ−ｂ)ｒ−(２ｒ−１０−ａ−ｂ)２
＝４ｒ２−２０ｒ−２ａｒ−２ｂｒ
−４ｒ２−１００−ａ２−ｂ２
＋４０ｒ＋４ａｒ＋４ｂｒ−２０ａ−２０ｂ−２ａｂ
０＝２ａｒ＋２ｂｒ−２ｂ２−２０ａ−２０ｂ−２ａｂ
＝ａｒ＋ｂｒ−ｂ２−１０ａ−１０ｂ−ａｂ
＝(ｒ−１０−ｂ)ａ＋ｂ(ｒ−ｂ−１０）
＝(ａ＋ｂ)(ｒ−１０−ｂ)
＝(ｒ−１０−ｂ)
ｂ＝ｒ−１０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（７）
上の式を (４)、(５)、(６) に代入、
β２＝(ｒ−５)２−α２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（４)'
β２＝(ｒ−５)２−(ａ−α)２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（５)'
β２＝(ａ＋５)２−(ａ＋ｒ−１０−α)２・・・・・・・・・・・・・・（６)'
(５)'−(４)'
０＝−(ａ−α)２＋α２
＝−ａ２＋２ａα−α２＋α２
＝−ａ２＋２ａα
＝−ａ＋２α
２α＝ａ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（８)
(６)'−(４)'
０＝(ａ＋５)２−(ｒ−５)２−(ａ＋ｒ−１０−α)２＋α２
＝(ａ＋５)２−(ｒ−５)２−(ａ＋ｒ−１０)２＋２α(ａ＋ｒ−１０)
＝(ａ＋５)２−(ｒ−５)２−(ａ＋ｒ−１０)２＋ａ(ａ＋ｒ−１０)
∵ (８)より、２α＝ａ
＝(ａ＋５)２−(ｒ−５)２−(ａ＋ｒ−１０){(ａ＋ｒ−１０)−ａ}
＝(ａ＋５)２−(ｒ−５)２−(ａ＋ｒ−１０)(ｒ−１０)
＝(ａ＋５)２−(ｒ−５)２−(ｒ−１０)２−ａ(ｒ−１０)
＝ａ２−２ｒ２−ａｒ＋２０ａ＋３０ｒ−１００
＝(２０ｒ−１００)−２ｒ２
−(ｒ−２０)(２０ｒ−１００)１/２＋３０ｒ−１００
∵ (２)より、ａ２＝２０ｒ−１００
＝−２ｒ２＋５０ｒ−２００−(ｒ−２０)(２０ｒ−１００)１/２
(ｒ−２０)(２０ｒ−１００)１/２
＝−２ｒ２＋５０ｒ−２００
＝−２(ｒ−２０)(ｒ−５)
(ｒ−２０)２(２０ｒ−１００)
＝４(ｒ−２０)２(ｒ−５)２
０＝４(ｒ−２０)２(ｒ−５)２−(ｒ−２０)２(２０ｒ−１００)
＝４(ｒ−２０)２{(ｒ−５)２−(５ｒ−２５)}
＝(ｒ−２０)２{(ｒ−５)２−５(ｒ−５)}
＝(ｒ−２０)２(ｒ−５){(ｒ−５)−５}
＝(ｒ−２０)２(ｒ−５)(ｒ−１０)
＝(ｒ−２０)２ ∵ (ｒ−５)(ｒ−１０)≠０
ｒ＝２０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（答）
「複べクトルを使って解きました」とは、それ本当ですか・・・？？？ 幾何学
の大スタ−「ピタゴラスの定理」使って解いたのではありませんか・・・？ 正直
に、白状しなさいよ。
イヤ、イヤ、私や・・・、ピタゴラスなんて・・・、２千年以上昔の数学者を知
りませんねぇ・・・。そんなものを知らなくても、問題を解けさえすればＯＫでし
ょう。
下記リンク先の解答は「独創性」は無いものの・・・、秀才が持つ確かさがあり
ます。出版社や公共機関に就職し、仕事として解答を作ると、誤りが無いことを最
優先し、既に確立したものをしっかりとマスターして・・・、どうしてもこうなり
ます。これは「天才が創造したものをしっかりと支え、維持、管理し、後世に伝え
る役割」として貴重な存在です。ここは、我々個人が作るＨＰとは段が違います。
解答は正しいことが第一で、その次に自然で爽やかであること。
これによって、落ちこぼれを一人でも少なく。
まぁ、言うは易し・・・。
良い道具(複ベクトル)を持ってくれば・・・、可也実現可能になります。
まぁ、これは問題によりけりで、どんな問題にも・・・、
こうは行きません。
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