例 題


<例題>
<解答>人円の半径を r とし、点は下の図にあるものとする。
    条件から、△IGC は正三角形  ∵ ∠CGI=∠CIG=π−2π/3=π/3           |IG|:|IH|=2:31/2          |IG|:6×3/2=2:31/2                |IG|=18/31/2                  =6×31/2     上の式より、|GC|=|CI|=6×31/2                   ∵  △IGB は正三角形 |FG|=|IJ|=|JD|=6×31/2                   ∵  条件より、六角形DKFGIJ は正六角形 △AJD で |AJ|=x、|AD|=y とすると、          s(△AJD)=(1/2)|JD||JA|sin(∠AJD)               =(1/2)|JD||JA|sin(π−2π/3)               =(1/2)|JD||JA|sin(π/3) =(1/2)6×31/2×x×sin(π/3)   =(1/2)x×6×31/2×31/2/2   =9x/2            9x/2=s(△AJD)               =(1/2)(2×|JD|+2|AJ|+2|AD|)             9x=(2×6×31/2+2x+2y)               =2×6×31/2+2x+2y              y=(7x−12×31/2)/2 ・・・・・・・・・・・・・・(1)     余弦定理より、|AD|=|JA|+|JD|−2|JA||JD|cos(∠AJD) y=x+(6×31/2)−2(6×31/2)x×cos(π−2π/3) =x−(6×31/2)x+108・・・・・・・・・・・・・・・(2)     (1) を (2) に代入、   {(7x−12×31/2)/2}=x−(6×31/2)x+108   {(7x−12×31/2)}=4x−(24×31/2)x+432     49x−168×31/2x+432=4x−(24×31/2)x+432         49x−168×31/2x=4x−(24×31/2)x               45x=144×31/2x                  5x=16×31/2   ∵ x>0      x=16×31/2/5      |AJ|=16×31/2/5     条件より、DG//AC から、△ABC∽△DBG           |BG|:|BC|=|DG|:|AC|        |BG|:|BG|+|GC|=|DG|:|AJ|+|JC|        |BG|:|BG|+6×31/2=12×31/2:16×31/2/5+12×31/2 =12:16/5+12 =60:16+60 =60:76 =15:19 19|BG|=15|BG|+90×31/2 4|BG|=90×31/2 |BG|=22.5×31/2 |BF|+|FG|=22.5×31/2 |BF|+6×31/2=22.5×31/2                   |BF|=16.5×31/2     条件より、EF//AJ、BF//DJ から、△ADJ∽△EBF             r:2=|BF|:|DJ|                =16.5×31/2:6×31/2                =16.5:6             6r=33              2r=11・・・・・・・・・・・・・・・(答)
参考にした解答 問題の方針と略解ですみません。 正六角形の一辺は6√3となります。次に天円を内接する上部のミニ三角形に注目して 余弦定理を使い三辺の長さが 6√3,16√3/5,26√3/5(三辺比は15:8:13)となる三角 形を見つけます。後は人円を内接する左部の相似な三角形(上部ミニ三角形と)に注目 して(正六角形の底部左端より辺に沿った仰角120°方向に補助線を延長する)15:8:13 の8にあたる右辺の長さが6√3+6√3+16√3/5-(6√3+6√3)×8/15=44√3/5より相似な 上部ミニ三角形(右辺16√3/5,内接円直径4)と比較して人円の直径11。
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