例　題　





＜例題＞∠Ｂ が９０度の直角三角形ＡＢＣ の中に一辺の長さが ｋ の正方形ＤＢＥＦ がある。

　　　　△ＡＢＣ、△ＦＥＣ、△ＡＤＦ の 内接円の半径を ｒ，ｓ，ｔ とするとき、次式が成

　　　　立することを示せ。
ｒ＝ｓ＋ｔ



＜解答＞|ＡＢ|＝ｃ とする。

　　　　条件より、△ＡＢＣ∽△ＦＥＣ であるから、

　　　　　　　　　ｒ：ｓ＝|ＡＢ|：|ＦＥ|＝ｃ：ｋ

　　　　　　　　　　　ｓ＝ｒｋ/ｃ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

　　　　条件より、△ＡＢＣ∽△ＡＤＦ であるから、

　　　　　　　　　ｒ：ｔ＝|ＡＢ|：|ＡＤ|＝ｃ：ｃ−ｋ

　　　　　　　　　　　ｔ＝ｒ(ｃ−ｋ)/ｃ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）

　　　　(１)＋(２)　ｓ＋ｔ＝ｒｋ/ｃ＋ｒ(ｃ−ｋ)/ｃ

　　　　　　　　　　　　　＝(ｒｋ＋ｒｃ−ｒｋ)/ｃ

　　　　　　　　　　　　　＝(ｒｃ)/ｃ

　　　　　　　　　　　　　＝ｒ

　　　　∴　ｒ＝ｓ＋ｔ


＜解答＞条件より、|ＡＣ|＝|ＡＦ＋ＦＣ|＝|ＡＦ|＋|ＦＣ|・・・・・・・・・・・・・（１）

　　　　条件より、△ＡＢＣ∽△ＦＥＣ∽△ＡＤＦ であるから、

　　　　　　　　　|ＡＣ|：|ＦＣ|：|ＡＦ|＝ｒ：ｓ：ｔ

　　　　　　　|ＡＣ|＝ｋｒ、|ＦＣ|＝ｋｓ、|ＡＦ|＝ｋｔ

　　　　上の式を（１）に代入、

　　　　　　　　　ｋｒ＝ｋｔ＋ｋｓ

　　　　　　　　　　ｒ＝ｔ＋ｓ

　　　　∴　ｒ＝ｓ＋ｔ


　問題を見た瞬間に解答が浮かんだような・・・！！！　江戸の剃刀頭脳の切

れ味が伝わってきます。もしかしたら・・・、問題の製作者の解答かも知れま

せん。我々凡人はこんな解答を書ける必要はありません。　　　　　　　　　





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