例　題　





＜例題＞正方形ＡＢＣＤ の左右に正三角形ＰＡＢ，ＱＤＣ がある。２直線 ＰＤ，ＱＡ の交点

　　　　を Ｒ とすると、△ＲＢＣ が正三角形になることを示せ。


＜解答＞２点 Ｂ、Ｃ を通る直線をｘ軸、２点 Ｏ、Ｒ を通る直線をｙ軸とし、点 Ａ、Ｂ、Ｃ、

　　　　Ｄ の座標を (−ａ，２ａ)，(−ａ，０)，(ａ，０)，(ａ，２ａ) とする。

　　　　条件より、△ＲＡＤ∽△ＲＱＰ　∵　ＡＤ//ＰＱ

　　　　　　　　　ＡＲ：ＲＱ＝ＡＤ：ＰＱ＝２ａ：２ａ＋２×３１/２ａ

　　　　　　　　　　　　　　＝１：１＋３１/２

　　　　　(１＋３１/２)・ＡＲ＝ＲＱ

　　　　　　　　　　　　　　＝ＲＡ＋ＡＱ

　　　　　(２＋３１/２)・ＡＲ＝ＡＱ

　　　　　　　　　　　　ＡＲ＝(２−３１/２)・ＡＱ

     　　   　　　ＡＯ＋ＯＲ＝(２−３１/２)・ＡＱ

                　　　　ＯＲ＝(２−３１/２)・ＡＱ＋ＯＡ

　　　　　　　　　　　　　　＝(２−３１/２)・(２ａ＋３１/２ａ，−ａ)＋(−ａ，２ａ)

　　　　　　　　　　　　　　＝(ａ，−２ａ＋３１/２ａ)＋(−ａ，２ａ)

　　　　　　　　　　　　　　＝(０，３１/２ａ)

　　　　　　　　　　　|ＯＲ|＝|(０，３１/２ａ)|＝３１/２ａ

　　　　上の式より、tan(∠ＲＢＯ)＝３１/２ａ÷ａ＝３１/２

　　　　　　　　　　　　 ∠ＲＢＯ＝π/３　

　　　　同様にして、　 　∠ＲＣＯ＝π/３　

　　　　∴　　△ＲＢＣ は正三角形
 

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