<例題>正三角形ABC の中に円 P(半径が 8)、Q(半径が 6) が図のように接している時、
この正三角形の内接円の半径はいくらか。(和算の問題の直径を半径に改題)
<解答>正三角形ABC の内心を I,内接円半径を r とする。
(PQ)S=(PI+IQ)S
=(PI)S+2(PI・IQ)+(IQ)S
=(IP)S−2(IP・IQ)+(IQ)S
条件から、|PQ|=8+6=14,
|IP|=|IB|−|PB|=2r−16
|IQ|=|IC|−|QC|=2r−12
∠PIQ=2π/3
上の式より、
142=(2r−16)2
−2(2r−16)(2r−12)cos(2π/3)+(2r−12)2
72=(r−8)2−2(r−8)(r−6)(−1/2)+(r−6)2
=(r−8)2+(r−8)(r−6)+(r−6)2
49=3r2−42r+148
0=3r2−42r+99
=r2−14r+33
=(r−11)(r−3)
=(r−11) ∵ 6<8<r
r=11・・・・・・・・・・・・・・・・・(答)
達人が上段から名刀を一振り・・・。まぁ、我々、凡人は、そんな解答を目指す
必要はありません。凡人が切れない包丁を使って大変な遠回り。まぁ、これでも答
えが出さえすれば OK で、立派なものです。 良い解答は、この種の解答を眺め
て作られてあります。ちょっとばかり内緒ですが「パクリ」の可能性ありです。
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