<例題>図のように大中小3個の正方形を描く。小と中の正方形の頂点を結ぶ斜の部分の長さ
|GH| を求めよ。ただし、大の正方形の辺の長さは 13寸、中の辺は 10寸、小
の辺は 5寸 とする。
<解答>条件より、(GH)S=(GO+OH)S
=(GO)S+2(GO・OH)+(OH)S
=(GO)S−2(OG・OH)+(OH)S
=(EO)S−2{OE×I・OB×(−I)}+(OH)S
=(EO)S+2{OE×I・OB×I}+(OH)S
=(EO)S+2(OE・OB)+(OB)S
=(EO)S−2(EO・OB)+(OB)S
=2(EO)S+2(OB)S−(EO)S−2(EO・OB)−(OB)S
=2(EO)S+2(OB)S−(EB)S
=2(5寸)2+2(10寸)2−(13寸)2
=(50+200−169)寸2
=81寸2
|GH|=9寸
ここに I が登場しています。I は嘘でもなければ、神秘でもありません。
何と・・・??? 和算の問題に登場させることが出来ます。
実は I を持ち出す必要はなく、高校数学の範囲でも解けます。
<解答>∠GOH=α、∠EOB=β とすると、
条件より、α+π/2+β+π/2=2π
α=πーβ
cosα=cos(π−β)=−cosβ
cosα+cosβ=0・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)
余弦定理より、|GH|2=|OG|2+|OH|2−2|OG||OH|cosα
=|5|2+|10|2−2|5||10|cosα
=125−100cosα ・・・・・・・・・・・・・・・(2)
余弦定理より、|EB|2=|OE|2+|OB|2−2|OE||OB|cosβ
|13|2=|5|2+|10|2−2|5||10|cosβ
169=125−100cosβ ・・・・・・・・・・・・・・・(3)
(2)+(3) |GH|2+169
=250−100( cosα+cosβ)
=250−100(0) ∵ (1)より、 cosα+cosβ=0
=250
|GH|2=250−169
=81
|GH|=9 ∵ |GH|>0
初めの解答は、これを複ベクトルに書き変えただけで、中身は同じです。
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