例 題 


<例題>図のように大中小3個の正方形を描く。小と中の正方形の頂点を結ぶ斜の部分の長さ

    |GH| を求めよ。ただし、大の正方形の辺の長さは 13寸、中の辺は 10寸、小

    の辺は 5寸 とする。
<解答>条件より、(GH)=(GO+OH) =(GO)+2(GO・OH)+(OH) =(GO)−2(OG・OH)+(OH) =(EO)−2{OE×I・OB×(−I)}+(OH) =(EO)+2{OE×I・OB×I}+(OH) =(EO)+2(OE・OB)+(OB) =(EO)−2(EO・OB)+(OB) =2(EO)+2(OB)−(EO)−2(EO・OB)−(OB) =2(EO)+2(OB)−(EB) =2(5寸)+2(10寸)−(13寸) =(50+200−169)寸 =81寸           |GH|=9寸
ここに I が登場しています。I は嘘でもなければ、神秘でもありません。 何と・・・??? 和算の問題に登場させることが出来ます。
 山川不動大栄寺 
実は I を持ち出す必要はなく、高校数学の範囲でも解けます。
<解答>∠GOH=α、∠EOB=β とすると、     条件より、α+π/2+β+π/2=2π                   α=πーβ                  cosα=cos(π−β)=−cosβ              cosα+cosβ=0・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1) 余弦定理より、|GH|=|OG|+|OH|−2|OG||OH|cosα                =|5|+|10|−2|5||10|cosα                =125−100cosα ・・・・・・・・・・・・・・・(2) 余弦定理より、|EB|=|OE|+|OB|−2|OE||OB|cosβ            |13|=|5|+|10|−2|5||10|cosβ             169=125−100cosβ ・・・・・・・・・・・・・・・(3)     (2)+(3)  |GH|+169                =250−100( cosα+cosβ)                =250−100(0) ∵ (1)より、 cosα+cosβ=0                =250 |GH|=250−169                =81             |GH|=9     ∵ |GH|>0
初めの解答は、これを複ベクトルに書き変えただけで、中身は同じです。
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