＜例題＞△ＡＢＣ の中に図のように３本の線を引くと、△ＰＱＲ∽△ＡＢＣ で、ＡＢ：ＰＱ＝
ＢＣ：ＰＱ＝ＣＡ：ＱＲ＝１：ｋ となる。|ＡＢ|＝３寸、|ＢＣ|＝６寸、|ＣＡ|＝４寸
で、|ＡＰ|＋|ＢＱ|＋|ＣＲ|＝５寸 のとき、|ＣＲ| は何寸か。
＜解答＞|ＡＰ|＝ｘ、|ＢＱ|＝ｙ、|ＣＲ|＝ｚ とおくと、
|ＡＰ|＋|ＢＱ|＋|ＣＲ|＝５寸 から、
ｘ＋ｙ＋ｚ＝５・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
∠Ａ＝α、∠Ｂ＝β、∠Ｃ＝γ、∠ＣＡＰ＝δ とおくと、
∠ＡＢＱ＝π−(α−δ)ー(πーα)＝δ
∠ＢＣＲ＝π−(β−δ)ー(πーβ)＝δ
条件から、 ＢＰ＝ＢＡ＋ＡＰ
ＢＰ＊ＢＰ＝ＢＡ＊ＢＰ＋ＡＰ＊ＢＰ
０＝３×|ＢＰ|sinδ＋(ｘ/４ｋ)(ＰＲ＊ＢＰ)
＝３×|ＢＰ|sinδ−(ｘ/４ｋ)(ＰＲ＊ＰＢ)
＝３×|ＢＰ|sinδ−(ｘ/４ｋ)(４ｋ)|ＰＢ|sinα
＝３×sinδ−ｘsinα
ｘ＝３sinδ/sinα
同様にして、 ｙ＝６sinδ/sinβ
ｚ＝４sinδ/sinγ
上の式と（１）より、
３sinδ/sinα＋６sinδ/sinβ＋４sinδ/sinγ＝ｘ＋ｙ＋ｚ
３sinδ/sinα＋６sinδ/sinβ＋４sinδ/sinγ＝５寸・・・・・・・・・（２）
△ＡＢＣの面積を ｓ とすると、 ＡＣ＊ＡＢ＝ＢＡ＊ＢＣ＝ＣＢ＊ＣＡ＝２ｓ
４×３×sinα＝３×６×sinβ＝６×４×sinγ＝２ｓ
６×sinα＝９×sinβ＝１２×sinγ＝ｓ
１/sinα＝６/ｓ、１/sinα＝９/ｓ、１/sinα＝１２/ｓ
上の式を（２））に代入、
３sinδ×６/ｓ＋６sinδ×６/ｓ＋４sinδ×６/ｓ＝５
３sinδ×６＋６sinδ×９＋４sinδ×１２＝５ｓ
１８sinδ/ｓ＋５４sinδ/ｓ＋４８sinδ１２/ｓ＝５ｓ
１２０sinδ＝５ｓ
sinδ＝ｓ/２４
上の式より、ｚ＝４sinδ/sinγ＝４×(ｓ/２４)×(１２/ｓ)＝２
|ＣＲ|＝２寸・・・・・・（答）
これは内積を使うと、殆どの人は迷宮入りとなるでしょう。
これは外積を使うべき問題です。
ここでは正弦定理を使って、式の動き(表現)にギコチナイところがありますが、解
答の中身は全く同じです。実は、この解答を眺めて、複ベクトルの解答に書きか変え
ただけです。数学としての中身は同じであっても、表現手段が違えば、答案が大変に
スム―ス、簡単になり、こんなのを「上級問題」に分類するのはおかしく見えてきま
す。和算にはこんな問題が沢山あります。和算にある解答は、比例を使っているよう
で、これなら「上級問題」を超えて、私には「不可能問題」となります。江戸の和算
学者は、神に近いカミソリ頭脳を持っていたようで、これなら算額を作って奉納する
に値します。
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