<例題>直角三角形ABC の中に図のよう3つの円と △ABCの内接円がある。円 P、Q の
半径を 9,8 とするとき、小円の半径を求めよ。
<解答>中心が R の円の半径を r とすると、
条件より、(KN)S=(r+9)S−(r−9)S=4r×9
|KN|=6×r1/2
(LM)S=(r+8)S−(r−8)S=4r×8
|LM|=4×(2r)1/2
上の式より、
(QP)S=(QL+LA+AK+KP)S
=(QL)S+(LA)S+(AK)S+(KP)S
+2(QL・LA)+2(QL・AK)+2(QL・KP)
+2(LA・AK)+2(LA・KP)
+2(AK・KP)
=(QL)S+(LA)S+(AK)S+(KP)S
+2(QL・AK)+2(LA・KP)
(9+8)2=(8)2+(4×(2r)1/2+r)2+(6×r1/2+r)2+(9)2
+2{−8×(6r1/2+r)}+2{−(4×(2r)1/2+r)×9}
144=(4×(2r)1/2+r)2+(6r1/2+r)2
+2{−8×(6×r1/2+r)}+2{−(4×(2r)1/2+r)×9}
=2r2+{8×(2)1/2+12}r3/2
+{34}r+{−72×(2)1/2ー96}r1/2
0=2r2+{8×(2)1/2+12)1/2}r3/2
+{34}r+{−72×(2)1/2ー96}r1/2−144
=r2+{4×(2)1/2+6}r3/2
+{17}r+{−36×(2)1/2ー48}r1/2−72・・・・・(1)
r+{2×(2)1/2+3}r1/2=x とおく。
r2+{4×(2)1/2+6}r3/2+17r+2×81/2×91/2r=x2
r2+{4×(2)1/2+6}r3/2=x2−17r−2×81/2×91/2r
上の式を(1)に代入
0=x2−17r−2×81/2×91/2r
+{17}r+{−36×(2)1/2ー48}r1/2−72
=x2−2×81/2×91/2r−2×81/2×91/2{81/2+3}r1/2−72
=x2−2×81/2×91/2{r−(2×21/2+3)r1/2}−72
=x2−2(81/2×91/2)x−72
x=(81/2×91/2)±(144)1/2
=(81/2×91/2)±12
r+{2×(2)1/2+3}r1/2=(81/2×91/2)±12
r+{2×(2)1/2+3}r1/2−(81/2×91/2)±12=0
r1/2=−{2×(2)1/2+3}±・・・・・・
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