例 題 


<例題>直角三角形ABC の中に図のよう3つの円と △ABCの内接円がある。円 P、Q の

    半径を 9,8 とするとき、小円の半径を求めよ。
<解答>中心が R の円の半径を r とすると、     条件より、(KN)=(r+9)−(r−9)=4r×9 |KN|=6×r1/2      (LM)=(r+8)−(r−8)=4r×8      |LM|=4×(2r)1/2     上の式より、 (QP)=(QL+LA+AK+KP)          =(QL)+(LA)+(AK)+(KP)                +2(QL・LA)+2(QL・AK)+2(QL・KP)                   +2(LA・AK)+2(LA・KP)                     +2(AK・KP)          =(QL)+(LA)+(AK)+(KP) +2(QL・AK)+2(LA・KP) (9+8)=(8)+(4×(2r)1/2+r)+(6×r1/2+r)+(9) +2{−8×(6r1/2+r)}+2{−(4×(2r)1/2+r)×9}       144=(4×(2r)1/2+r)+(6r1/2+r) +2{−8×(6×r1/2+r)}+2{−(4×(2r)1/2+r)×9} =2r+{8×(2)1/2+12}r3/2 +{34}r+{−72×(2)1/2ー96}r1/2 0=2r+{8×(2)1/2+12)1/2}r3/2 +{34}r+{−72×(2)1/2ー96}r1/2−144          =r+{4×(2)1/2+6}r3/2 +{17}r+{−36×(2)1/2ー48}r1/2−72・・・・・(1)     r+{2×(2)1/2+3}r1/2=x とおく。         r+{4×(2)1/2+6}r3/2+17r+2×81/2×91/2r=x         r+{4×(2)1/2+6}r3/2=x−17r−2×81/2×91/2r     上の式を(1)に代入       0=x−17r−2×81/2×91/2r +{17}r+{−36×(2)1/2ー48}r1/2−72 =x−2×81/2×91/2r−2×81/2×91/2{81/2+3}r1/2−72 =x−2×81/2×91/2{r−(2×21/2+3)r1/2}−72 =x−2(81/2×91/2)x−72       x=(81/2×91/2)±(144)1/2 =(81/2×91/2)±12       r+{2×(2)1/2+3}r1/2=(81/2×91/2)±12       r+{2×(2)1/2+3}r1/2−(81/2×91/2)±12=0            r1/2=−{2×(2)1/2+3}±・・・・・・
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