＜例題＞図のように直角三角形内に全円を容れ、それに接するように大円を描き、小円を容れる。
直角を挟む長い方の辺の長さを８寸で、全円の半径を２寸とするとき、小円の半径を求
めよ。
＜解答＞問題の図形の三角形と全円を取り出し、点を図のように表す。Ｋ は全円の中心。
条件より、|ＫＤ|＝|ＫＥ|＝２ から、|ＢＤ|＝|ＢＥ|＝２
|ＢＣ|＝８
上の式より、|ＣＥ|＝８−２＝６＝|ＣＦ|
∠Ｂ＝９０度より、３平方の定理から、|ＡＣ|２＝|ＡＢ|２＋|ＢＣ|２
|ＡＤ|＝|ＡＦ|＝ｘ とおくと、
(ｘ＋６)２＝(ｘ＋２)２＋(８)２
ｘ２＋１２ｘ＋３６＝ｘ２＋４ｘ＋４＋６４
８ｘ＝３２
ｘ＝４
上の式より、 |ＡＢ|＝２＋４＝６
上の図形を直交座標上に置く。但し、直線 ＢＣ がx軸、直線 ＢＡ がｙ軸、となるよ
うに置き、大円を追加する。大円の中心を Ｒ(α、３)、半径を ｒ とする。
|ＲＢ|＝ｒ から、|ＲＢ|２＝ｒ２
α２＋(３)２＝ｒ２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
|ＲＫ|＝ｒ−２ から、|ＲＫ|２＝(ｒ−２)２
(α−２)２＋(３−２)２＝(ｒ−２)２・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
この式は座標が無いと、浮かびにくい。
(１)−(２） ４α−４＋８＝４ｒ−４
４α＋８＝４ｒ
α＋２＝ｒ
上の式を（１）に代入、
α２＋(３)２＝(α＋２)２
５＝４α
α＝５/４
ｒ＝５/４＋８/４＝１３/４
上の図形に小円を追加、小円の中心を Ｓ(β、ｓ)、半径を ｓ とする。
|ＲＳ|＝ｒ＋ｓ から、|ＲＳ|２＝(ｒ＋ｓ)２
(βー５/４)２＋(３−ｓ)２＝(１３/４＋ｓ)２・・・・・・・・・・・・（３）
この式も座標が無いと浮かびにくいが、補助線を引いて、
不可能ではありません。
条件から、△ＣＳＧ∽△ＣＫＥ
|ＳＧ|：|ＫＥ|＝|ＣＧ|：|ＣＥ|
ｓ：２＝８−β：６
ｓ＝(８−β)/３・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（４）
(３)、(４）から、
β２ー５β/２＋２５/１６＋９ー６ｓ＋ｓ２＝１６９/１６＋１３ｓ/２＋ｓ２
β２ー５β/２＋１６９/１６ー６ｓ＋ｓ２＝１６９/１６＋１３ｓ/２＋ｓ２
β２ー５β/２ー６ｓ＝１３ｓ/２
β２ー５β/２＝(２５/２)ｓ
β２ー５β/２＝(２５/２)(８−β)/３
６β２ー１５β＝２５(８−β)
６β２＋１０β−２００＝０
３β２＋５β−１００＝０
(β−５)(３β＋２０)＝０
β＝５
上の式を（４）に代入、ｓ＝(８−５)/３＝１
∴ 小円の半径は １ ・・・・・・・・・・・・・・・（答）
江戸の和算家はこんな問題を作って、民衆を悩ませ・・・、そして、優越感に
浸っていたのかねぇ・・・、こんなのは大変にけしからん・・・？
この問題は、ユークリットの力不足で (α−２)２＋(５/２−２)２＝(ｒ−２)２
は大変に導き難い。嫌らしい和算家が、わざわざ・・・、それを狙った作った問
題かも知れません。「導けない者の頭が悪い」こんなのは言語道断です。
数学は、誰もがそれ程抵抗なく、自然に、流れるように解ける。こうなるよう
に作って置かねばなりません。そうして置かないと、落ちこぼれがいっぱい出ま
す。それには、図形の下に座標を置けば解決します。複ベクトルを使っても解決
しますが、きっと皆さんが見たことがない式になるでしょう。それでも出来ない
ことはありません。
解析幾何学は計算のジャングルに陥りやすく、図形問題を解くための良い道具
ではありません。まぁ・・・、これは一般論であて、実際は、問題によりけりで
す。座表が有効な問題も沢山あります。
参 考
|ＲＫ|＝ｒ−２ から、|ＲＫ|２＝(ｒ−２)２
(ｒ−２)２＝(ＲＫ)Ｓ＝(ＲＨ＋ＨＢ＋ＢＥ＋ＥＫ)Ｓ
＝(ＲＨ)Ｓ＋(ＨＢ)Ｓ＋(ＢＥ)Ｓ＋(ＥＫ)Ｓ
＋２(ＲＨ・ＨＢ)＋２(ＲＨ・ＢＥ)＋２(ＲＨ・ＥＫ)
＋２(ＨＢ・ＢＥ)＋２(ＨＢ・ＥＫ)＋２(ＢＲ・ＥＫ)
＝(ＲＨ)Ｓ＋(ＨＢ)Ｓ＋(ＢＥ)Ｓ＋(ＥＫ)Ｓ
＋２(ＲＨ・ＢＥ)＋２(ＨＢ・ＥＫ)
＝・・・・
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