例　題　





＜例題＞一辺の長さが ａ の正三角形ＡＢＣ の辺 ＢＣ 上に点 Ｄ(|ＢＤ|＝ｂ)がある。三角形

　　　　ＡＢＤ の内接円の中心を Ｉ、半径が ｒ のとき、次式が成立することを示せ。

３１/２(ａｂ＋４ｒ２)＝４ｒ(ａ＋ｂ)


＜証明＞条件より、ＡＤ＝ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＢ＋(ｂ/ａ)・ＢＣ

　　　　　(ＡＤ)Ｓ＝{ＡＢ＋(ｂ/ａ)・ＢＣ}Ｓ

　　　　　　　　　＝(ＡＢ)Ｓ＋２(ｂ/ａ)(ＡＢ・ＢＣ)＋{(ｂ/ａ)・ＢＣ}Ｓ

　　　    |ＡＤ|２＝ａ２−２(ｂ/ａ)×ａ×ａ×cos(π/３)＋(ｂ/ａ)２ａ２

　　　　　　　　　＝ａ２−ａｂ＋ｂ２

　　　　　　|ＡＤ|＝(ａ２−ａｂ＋ｂ２)１/２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

　　　　条件より、　　ＢＡ＊ＢＤ＝(ＢＩ＋ＩＡ)＊(ＢＩ＋ＩＤ)

　　　　　　　　　　　　　　　　＝ＢＩ＊ＢＩ＋ＢＩ＊ＩＤ＋ＩＡ＊ＢＩ＋ＩＡ＊ＩＤ

　　　　　　　　　　　　　　　　＝ＩＤ＊ＩＢ＋ＩＢ＊ＩＡ＋ＩＡ＊ＩＤ

　　　　　　　　　　　ＢＡ＊ＢＤ＝|ＡＢ|×ｒ＋|ＢＤ|×ｒ＋|ＤＡ|×ｒ

　　　　　　　　　ａｂsin(π/３)＝ａｒ＋ｂｒ＋(ａ２−ａｂ＋ｂ２)１/２×ｒ

　　 　　　　　 ａｂ×３１/２/２＝ａｒ＋ｂｒ＋(ａ２−ａｂ＋ｂ２)１/２×ｒ

　　 　　　　 　　　 ３１/２ａｂ＝２ａｒ＋２ｂｒ＋２ｒ(ａ２−ａｂ＋ｂ２)１/２

 　　　　  　　　３１/２ａｂ−２ａｒ−２ｂｒ

　　　　　　　　　　　　　　　　＝２ｒ(ａ２−ａｂ＋ｂ２)１/２

　 　　       ３ａ２ｂ２＋４ａ２ｒ２＋４ｂ２ｒ２

　　　　　　　　　　　　−４×３１/２ａ２ｂｒ＋８ａｂｒ２−４×３１/２ａｂ２ｒ

　　　　　　　　　　　　　　　　＝４ｒ２ａ２−４ａｂｒ２＋４ｒ２ｂ２

　　　　　　　 ３ａ２ｂ２＋１２ａｂｒ２

　　　　　　　　　　　　　　　　＝４×３１/２ａ２ｂｒ＋４×３１/２ａｂ２ｒ

　　　　　　 　 ３ａｂ＋１２ｒ２＝４×３１/２ｒ(ａ＋ｂ)

　　　　 　 ３１/２(ａｂ＋４ｒ２)＝４ｒ(ａ＋ｂ)





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