＜例題＞図のように正三角形内に全円と等円２個が容れてある。全円直径が４寸のとき、等円の
直径はいくらか。
＜解答＞等円の直径を ｒ とし、点は下の図に示してあるものとする。
条件より、(ＨＭ)Ｓ＝(ＨＡ＋ＡＭ)Ｓ
＝(ＨＡ)Ｓ＋２(ＨＡ・ＡＭ)＋(ＡＭ)Ｓ
＝(ＨＡ)Ｓ−２(ＡＨ・ＡＭ)＋(ＡＭ)Ｓ
＝(ＡＭ)Ｓ−２(ＡＭ)Ｓcos(π/６)＋(ＡＭ)Ｓ
＝(ＡＭ)Ｓ−２(ＡＭ)Ｓ×３１/２/２＋(ＡＭ)Ｓ
＝(２−３１/２)(ＡＭ)Ｓ・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
(ＨＭ)Ｓ＝(ＨＰ＋ＰＭ)Ｓ
＝(ＨＰ)Ｓ＋２(ＨＰ・ＰＭ)＋(ＰＭ)Ｓ
＝(ＨＰ)Ｓ−２(ＰＨ・ＰＭ)＋(ＰＭ)Ｓ
＝(ＰＭ)Ｓ−２(ＰＭ)Ｓcos(５π/６)＋(ＰＭ)Ｓ
＝(ＰＭ)Ｓ＋２(ＰＭ)Ｓ×３１/２/２＋(ＰＭ)Ｓ
＝(２＋３１/２)(ｒ)２・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
(１)、(２) より、 (２−３１/２)(ＡＭ)Ｓ＝(２＋３１/２)(ｒ)２
(ＡＭ)Ｓ＝(２＋３１/２)２(ｒ)２
|ＡＭ|＝(２＋３１/２)ｒ
条件と正三角形の内心と重心は一致することから、
|ＡＯ|：|ＯＩ|＝２：１
|ＡＯ|＝２×|ＯＩ|＝２×２＝４
上の式より、|ＯＭ|＝|ＡＯ|−|ＡＭ|＝４−(２＋３１/２)ｒ
条件より、 (ＯＰ)Ｓ＝(ＯＭ＋ＭＰ)Ｓ
＝(ＯＭ)Ｓ＋２(ＯＭ・ＭＰ)＋(ＭＰ)Ｓ
＝(ＯＭ)Ｓ＋２(０)＋(ＭＰ)Ｓ
＝(ＯＭ)Ｓ＋(ＭＰ)Ｓ
上の式に |ＯＰ|＝２＋ｒ、|ＯＭ|＝４−(２＋３１/２)ｒ、|ＭＰ|＝ｒ を代入、
(２＋ｒ)２＝{４−(２＋３１/２)ｒ}２＋(ｒ)２
４＋４ｒ＋ｒ２＝１６−８×(２＋３１/２)ｒ＋(７＋４×３１/２)ｒ２＋ｒ２
０＝(７＋４×３１/２)ｒ２−(２０＋８×３１/２)ｒ＋１２
＝{(７＋４×３１/２)ｒ−６}{ｒ−２}
＝{(７＋４×３１/２)ｒ−６} ∵ ｒ≠２
ｒ＝６/(７＋４×３１/２)
２ｒ＝１２/(７＋４×３１/２)
＝１２(７−４×３１/２)
＝０.８６１５・・・
（答） 等円直径は、０.８６１５・・・寸
計算でダウンしそうであるが、数学の問題としてはそれ程難しくはありませ
ん。嫌らしい江戸の和算家はこんな問題を作って、民衆を悩ませておったのか
ねぇ・・・、まるで落ちこぼれを催促しているようなぁ・・・。
俺の出した問題をやって見ろ、出来んだろう。だから・・・？？？
| 
