＜例題＞図のように一辺が１０寸の正方形の中に円弧を描き、その隙間に大円一つと大きさが等
しい２つの黒円を内接させる。弧の半径を変えると黒円の半径が変わる。このとき黒円
の直径の大きさの最小値を求めよ。
＜解答＞弧の中心 Ｏ から辺ＡＣに下ろした垂線の足 Ｊ が Ｃ に来たとき、黒丸の半径が最小
になり、このとき下の図形となる。
大円の半径を ｒ、黒丸の半径を ｓ、点は図あるものとする。
条件より、正三角形の辺の長さが １０ で、△ＯＭＣ は ∠Ｍ＝π/２、∠Ｏ＝π/３、
∠Ｍ＝π/６ であるから、
|ＭＣ|＝５、|ＭＯ|＝５/３１/２、|ＯＣ|＝１０/３１/２
５×３１/２＝|ＡＭ|
＝|ＡＤ|＋|ＤＭ|
＝|ＡＤ|＋|ＤＯ|−|ＭＯ|
＝３ｒ＋１０/３１/２−５/３１/２
＝３ｒ＋５/３１/２
１５＝３×３１/２ｒ＋５
ｒ＝１０×３１/２/９
△ＰＡＨ は ∠Ｈ＝π/２、∠Ｐ＝π/３、∠Ａ＝π/６ であるから、
|ＡＨ|：|ＨＰ|＝３１/２：１
|ＡＨ|：ｒ＝３１/２：１
|ＡＨ|＝３１/２ｒ＝３１/２×１０×３１/２/９＝１０/３
条件より、(ＰＱ)Ｓ＝(ＰＨ＋ＨＩ＋ＩＱ)Ｓ
＝(ＰＨ)Ｓ＋(ＨＩ)Ｓ＋(ＩＱ)Ｓ
＋２(ＰＨ・ＨＩ)＋２(ＰＨ・ＩＱ)＋２(ＨＩ・ＩＱ)
＝(ＰＨ)Ｓ＋(ＨＩ)Ｓ＋(ＩＱ)Ｓ
＋２(０)＋２(ＰＨ・ＩＱ)＋２(０)
＝(ＰＨ)Ｓ＋(ＨＩ)Ｓ＋(ＩＱ)Ｓ＋２(ＰＨ・ＩＱ)
(ｒ＋ｓ)２＝(ｒ)Ｓ＋(ＨＩ)Ｓ＋(ｓ)Ｓ＋２(−ｒｓ)
(ＨＩ)Ｓ＝４ｒｓ
|ＨＩ|＝２(ｒｓ)１/２、
同様にして、|ＩＣ|＝２(１０/３１/２ｓ)１/２＝２(３ｒｓ)１/２
４点 Ａ、Ｈ、Ｉ，Ｊ、Ｃ は一直線上にあるから、
|ＡＣ|＝|ＡＨ|＋|ＨＩ|＋ＩＣ|
上の式より、１０＝１０/３＋２(ｒｓ)１/２＋２(３ｒｓ)１/２
、 ２０/３＝２(ｒｓ)１/２＋２(３ｒｓ)１/２
、 １０/３＝(ｒｓ)１/２＋(３ｒｓ)１/２
＝{１＋(３)１/２}(ｒｓ)１/２
１００/９＝{４＋２(３)１/２}ｒｓ
５０/９＝{２＋(３)１/２}ｒｓ
＝{２＋(３)１/２}(１０×３１/２/９)ｓ
５＝{２＋(３)１/２}(３１/２)ｓ
＝{２(３)１/２＋３}ｓ
５{２(３)１/２−３}＝{２(３)１/２＋３}{２(３)１/２−３}ｓ＝(１２−９)＝３ｓ
ｓ＝５{２(３)１/２−３}/３
＝(１０×３１/２−１５)/３
２ｓ＝(２０×３１/２−３０)/３
（答）{(２０×３１/２−３０)/３}寸
| 
