＜例題＞左図のように長方形があり、その内に斜線を隔てて、甲円１個、乙円２個、丙円１個が
容れてある。乙円半径を ９寸 として、甲，丙円の半径を求めよ。
＜解答＞甲円の半径を ｒ、点を図にあるものとするとすると、|ＡＦ|＝|ＡＧ|＝９
|ＥＦ|＝|ＥＩ|＝|ＢＨ|＝ｘ、|ＥＪ|＝|ＥＫ|＝ｙ、|ＢＪ|＝|ＢＬ|＝ｚ とする。
条件より、|ＢＩ|＋|ＩＥ|＝|ＢＪ|＋|ＪＥ|
２ｒ−９＋ｘ＝ｚ＋ｙ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
条件より、|ＡＦ|＋|ＦＥ|＋|ＥＬ|＝|ＢＬ|
９＋ｘ＋ｙ＝ｚ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
(１)−(２) ２ｒ−１８−ｙ＝ｙ
２ｒ−１８＝２ｙ
ｒ−９＝ｙ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（３）
条件より、(ＰＧ)Ｓ＝(ＰＨ＋ＨＪ＋ＪＧ)Ｓ
＝(ＰＨ)Ｓ＋(ＨＪ)Ｓ＋(ＪＧ)Ｓ
＋２(ＰＨ・ＨＪ)＋２(ＰＨ・ＪＧ)＋２(ＨＪ・ＪＧ)
＝(ＰＨ)Ｓ＋(ＨＪ)Ｓ＋(ＪＧ)Ｓ
＋２(０)＋２(ＰＨ・ＪＧ)＋２(０)
＝(ＰＨ)Ｓ＋(ＨＪ)Ｓ＋(ＪＧ)Ｓ＋２(ＰＨ・ＪＧ)
(ｒ＋９)Ｓ＝(９)２＋(ｚ−ｘ)２＋(ｒ)２＋２(−９ｒ)
＝(９)２＋(９＋ｙ)２＋(ｒ)２＋２(−９ｒ)
∵ (２) より、９＋ｙ＝ｚ−ｘ
＝(９)２＋{９＋(ｒ−９)}２＋(ｒ)２＋２(−９ｒ)
∵ (３) より、ｒ−９＝ｙ
＝(９)２＋(ｒ)２＋(ｒ)２＋２(−９ｒ)
ｒ２＋１８ｒ＋９２＝(９)２＋ｒ２＋(ｒ)２−１８ｒ
３６ｒ＝ｒ２
３６＝ｒ ∵ ｒ＞０
上の式から、ｙ＝３６−９＝２７、|ＥＪ|＝ｙ＝２７
丙円の半径を ｓ、中心点を Ｓ、点 Ｓ から直線 ＥＪ に垂線を降ろし、その足を Ｔ
とする。
△ＥＴＳ∽△ＥＪＧ から、|ＥＴ|：|ＴＳ|＝|ＥＪ|：|ＪＧ|
|ＥＴ|：ｓ＝２７：３６＝３：４
|ＥＴ|＝３ｓ/４
|ＴＪ|＝|ＥＪ|−|ＥＴ|＝２７−３ｓ/４
条件より、(ＳＧ)Ｓ＝(ＳＴ＋ＴＪ＋ＪＧ)Ｓ
＝(ＳＴ)Ｓ＋(ＴＪ)Ｓ＋(ＪＧ)Ｓ
＋２(ＳＴ・ＴＪ)＋２(ＳＴ・ＪＧ)＋２(ＴＪ・ＪＧ)
＝(ＳＴ)Ｓ＋(ＴＪ)Ｓ＋(ＪＧ)Ｓ
＋２(０)＋２(ＳＴ・ＪＧ)＋２(０)
＝(ＳＴ)Ｓ＋(ＴＪ)Ｓ＋(ＪＧ)Ｓ＋２(ＳＴ・ＪＧ)
(ｓ＋ｒ)２＝(ｓ)２＋(２７−３ｓ/４)２＋(ｒ)２−２(ｓｒ)
４ｓｒ＝(２７)２−(２７×３ｓ/２)＋(３ｓ/４)２
４ｓ×３６＝(２７)２−(２７×３ｓ/２)＋(３ｓ/４)２
４ｓ×４＝(９)２−(９×ｓ/２)＋(ｓ/４)２
２５６ｓ＝１２９６−７２ｓ＋ｓ２
０＝ｓ２−３２８ｓ＋１２９６
＝(ｓ−４)(ｓ−３２４)
＝(ｓ−４) ∵ ｓ＜９
ｓ＝４
(答）甲円の半径：３６寸、 丙円の半径：４寸
参 考
上の式から、ｙ＝３６−９＝２７、|ＥＪ|＝ｙ＝２７
丙円の半径を ｓ、中心点を Ｓ、点 Ｓ から直線 ＪＧ に垂線を降ろし、その足を Ｔ
とする。
条件から、(ＥＧ)Ｓ＝(ＥＪ)Ｓ＋(ＪＧ)Ｓ＝(２７)２＋(３６)２＝２０４５
|ＥＧ|＝４５
△ＳＴＧ∽△ＥＪＧ から、|ＳＧ|：|ＧＴ|＝|ＥＧ|：|ＧＪ|
ｒ＋ｓ：ｒ−ｓ＝４５：３６＝５：４
４ｒ＋４ｓ＝５ｒ−５ｓ
９ｓ＝ｒ
９ｓ＝３６
ｓ＝４
複ベクトルより、解析幾何学やユークリット幾何学、更には、その遥か以前の幾
何学とはとても言えそうにない「比例」の方がスムースである。まぁ・・・、こん
なこともあります。進化した幾何学が常に良いとは限りません。どの幾何学を使う
のが良いかは「問題によりけり」です。
比例の活用範囲は広く「全ての問題は比例で解ける」そうですが、これには剃刀
頭脳が必要で、我々凡人向けではありません。
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