例 題 


<例題>下の図のように、等脚台形に外円が内接している。外円を4つ弧(中心は台形の頂点)に

    よって5つの部分に分け、中央部分に等円が2つ内接している。外円と大弧の間の中心

    線(大矢)の長さが 49寸、外円と小弧の間の中心線(小矢)の長さが 36.75寸 のと

        き、等円の直径を求めよ。

<解答>大円の半径を r、等円の半径を s、AP=AS=x、BP=BQ=y とし、点は下

        の図にあるものとする。

    条件より、(OA)=(OP+PA)=(OP)+2(OP・PA)+(PA)              =(OP)+2(0)+(PA)              =(OP)+(PA) (x+r−a)=x+r・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)     同様に、 (y+r−b)=y+r・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)          (x+r−a)+(y+r−b)=(x+y)・・・・・・・・・・・・・(3)    (1)より、x+r+a+2xr−2xa−2ra=x+r                a+2xr−2xa−2ra=0                             x=(a/2)(2r−a)/(r−a)    (2)より、同様にして、             y=(b/2)(2r−b)/(r−b)     (1)+(2)−(3)   0=x+r+y+r−(x+y)                 =2r−2xy                 =r−xy・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)     (4) に x=(a/2)(2r−a)/(r−a)、y=(b/2)(2r−b)/(r−b) を代入、          0=r−{(a/2)(2r−a)/(r−a)}{(b/2)(2r−b)/(r−b)}   =4r(r−a)(r−b)−ab(2r−a)(2r−b)   =4r{r−(a+b)r+ab}−ab{4r−2(a+b)r+ab}   =4r{r−(a+b)r}−ab{−2(a+b)r+ab}           =4r−4(a+b)r+2ab(a+b)r−(ab)           ={2r−ab}{2r−2(a+b)r+ab}           ={2r−2(a+b)r+ab}  ∵ 2r−ab≠0          r={(a+b)+(a+b)1/2}/2  ∵ r>a+b   ={(49+36.75+61.25}/2=73.5         2r=147        r=5402.25    上の式より、x=(a/2)(2r−a)/(r−a)           =(49/2)(147−49)/(73.5−49) =98          y=(b/2)(2r−b)/(r−b)           =(36.75/2)(147−36.75)/(73.5−36.75) =55.125        x+y=98+55.125=153.125     条件より、(IA)=(IH+HS+SA) =(IH)+(HS)+(SA)    +2(IH・HS)+2(IH・SA)+2(HS・SA) =(IH)+(HS)+(SA)   +2(0)+2(IH・SA)+2(0) =(IH)+(HS)+(SA)+2(IH・SA)          (x+s)=(s)+(HS)+(x)+2(−sx)            4xs=(HS)         2(xs)1/2=|SH|     同様に、2(ys)1/2=|HQ|     条件より、|SH|+|HQ|=|SQ|     上の式より、 2{xs}1/2+2{ys}1/2=2r    {xs}1/2+{ys}1/2=r               s1/2=r/(x1/2+y1/2)                 s=r/(x+2x1/21/2+y)                    =r/(x+y+2r)                  =5402.25/(153.125+147)                  =18                2s=36寸・・・・・・・・・・・・・・・(答)
 群馬の算額 87−6 
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