例　題　





＜例題＞下の四角形ＡＢＣＤ は ∠Ｃ＝∠Ａ＝90°、|ＢＡ|＝|ＢＣ|＝ａ，|ＤＣ|＝|ＤＡ|＝ｂ

　　　　である。点 Ａ から辺 ＣＤ に垂線を降ろし、その足を Ｈ、 点 Ｂ から直線 ＡＨ に

　　　　垂線を降ろし、その足を Ｅ とするとき、次の質問に答えよ。

　　　　１）　|ＨＤ| の値を求めよ。

　　　　２）　|ＢＥ| の値を求めよ。

　　　　３）　|ＡＨ| の値を求めよ。

＜解答＞∠ＢＤＣ＝θとおくと、

　　　　条件から、tanθ＝ａ/ｂ

　　　　　　　　　cos２θ＝１/(１＋tan２θ)＝ｂ２/(ａ２＋ｂ２)

　　　　１）条件から、ＡＨ⊥ＤＣ

　　　　　　　　　０＝ＡＨ・ＤＣ

　　　　　　　　　　＝(ＡＤ＋ＤＨ)・ＤＣ

　　　　　　　　　　＝ＡＤ・ＤＣ＋ＤＨ・ＤＣ

　　　　　　ＤＨ＝ｋ・ＤＣ とおくと、

　　　　　　　　０＝ＡＤ・ＤＣ＋(ｋ・ＤＣ)・ＤＣ

　　　　　　　　ｋ＝(ＤＡ・ＤＣ)/(ＤＣ)Ｓ＝ｂ２cos(２θ)/ｂ２

　　　　　　　　　＝cos(２θ)

　　　　　　　　　＝２cos２θ−１

　　　　　　　　　＝２ｂ２/(ａ２＋ｂ２)−１

　　　　　　　　　＝(−ａ２＋ｂ２)/(ａ２＋ｂ２)

　　　　　　上の式と ＤＨ＝ｋ・ＤＣ から、

　　　　　　　　　　ＤＨ＝{(−ａ２＋ｂ２)/(ａ２＋ｂ２)}・ＤＣ

　　　　　　　　　|ＤＨ|＝{(−ａ２＋ｂ２)/(ａ２＋ｂ２)}|ＤＣ|

　　　　　　　　　　　　＝ｂ(ｂ２−ａ２)/(ａ２＋ｂ２)

　　　　２）条件から、|ＢＥ|＝|ＣＨ|＝|ＣＤ＋ＤＨ|＝|ＣＤ−ＨＤ|＝|ＣＤ|−|ＨＤ|

　　　　　　　　　　　　＝ｂ−ｂ(ｂ２−ａ２)/(ａ２＋ｂ２)

　　　　　　　　　　　　＝２ａ２ｂ/(ａ２＋ｂ２)

　　　　３）条件と１）とピタゴラスの定理から、

　　　　　　　　(ＡＨ)Ｓ＝(ＡＤ)Ｓ−(ＨＤ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　＝ｂ２−{ｂ(ｂ２−ａ２)/(ａ２＋ｂ２)}２

　　　　　　　　　　　　＝ｂ２[１−{(ｂ２−ａ２)/(ａ２＋ｂ２)}２]

　　　　　　　　　　　　＝４ｂ４ａ２/(ａ２＋ｂ２)２

　　　　　　　　　|ＡＨ|＝２ａｂ２/(ａ２＋ｂ２)



ここは複ベクトルを使って和算に挑戦。こんなテーマを掲げています。

実は、何も複ベクトルに拘る必要はありません。





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