＜例題＞下の図で ｓ(△ＡＯＵ)＝ｓ(△ＣＯＳ) であることを示し、|ＡＵ|２＋|ＣＳ|２ の値は
一定であることを示せ。
＜解答＞条件より、
|ＡＵ|２＋|ＣＳ|２
＝(ＡＵ)Ｓ＋(ＣＳ)Ｓ
＝(ＡＯ＋ＯＵ)Ｓ＋(ＣＯ＋ＯＳ)Ｓ
＝(ＡＯ)Ｓ＋２(ＡＯ・ＯＵ)＋(ＯＵ)Ｓ
＋(ＣＯ)Ｓ＋２(ＣＯ・ＯＳ)＋(ＯＳ)Ｓ
＝２(ＡＯ)Ｓ＋２(ＯＵ)Ｓ＋２(ＡＯ・ＯＵ)＋２(ＣＯ・ＯＳ)
＝２(ＡＯ)Ｓ＋２(ＯＵ)Ｓ−２(ＯＡ・ＯＵ)−２(ＯＣ・ＯＳ)
＝２(ＡＯ)Ｓ＋２(ＯＵ)Ｓ−２(ＯＡ・ＯＵ)−２{ＯＡ×Ｉ・ＯＵ×(−Ｉ)}
＝２(ＡＯ)Ｓ＋２(ＯＵ)Ｓ−２(ＯＡ・ＯＵ)＋２(ＯＡ・ＯＵ)
＝２(ＡＯ)Ｓ＋２(ＯＵ)Ｓ
∴ |ＡＵ|２＋|ＣＳ|２ の値は一定である。
＜例題＞図のように結んだ赤い糸同士は長さが等しくなり、しかも、直交しているようです。こ
れを証明してください。
＜解答＞条件より、ＡＳ＝ＡＯ＋ＯＳ
＝−ＯＡ＋ＯＳ
＝−ＯＣ×(−Ｉ)＋ＯＵ×(−Ｉ)
＝ＯＣ×Ｉ−ＯＵ×Ｉ
＝(ＯＣ−ＯＵ)×Ｉ
＝(ＵＯ＋ＯＣ)×Ｉ
＝(ＵＣ)×Ｉ
ＡＳ＝(ＵＣ)×Ｉ
∴ ＡＳ⊥ＵＣ、|ＡＳ|＝|ＵＣ|
＜解答＞条件より、
Log(ＡＳ/ＵＣ)＝Log(ＡＳ)−arg(ＵＣ)
＝Log(ＡＯ＋ＯＳ)−Log(ＵＯ＋ＯＣ)
＝Log(−ＯＡ＋ＯＳ)−Log(−ＯＵ＋ＯＣ)
＝Log{−ＯＣ×(−Ｉ)＋ＯＵ×(−Ｉ)}−Log(−ＯＵ＋ＯＣ)
＝Log{ＯＣ×Ｉ−ＯＵ×Ｉ}−Log(−ＯＵ＋ＯＣ)
＝Log{ＯＣ−ＯＵ}＋Log(Ｉ)−Log(−ＯＵ＋ＯＣ)
＝Log(Ｉ)
＝(０、π/２)
ＡＳ/ＵＣ＝ｅ０・Rot(π/２)＝Rot(π/２)
ＡＳ＝ＵＣ×Rot(π/２)
∴ ＡＳ⊥ＵＣ、|ＡＳ|＝|ＵＣ|
この解答は「オイラーの公式」の準備をしています。
＜例題＞図のように結んだ赤い糸同士は交点を Ｐ とするとき、３点 Ｂ、Ｐ、Ｔ が一直線上に
ある。これを証明してください。
＜解答＞前問より、∠ＡＰＣ＝π/２ から、５点 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｏ，Ｐ は同一円周上にあり、
|ＢＯ| は、この円の直径になるから、∠ＢＰＯ＝π/２
ＰＢ＝ｐ・ＰＯ×(−Ｉ)
同様にして、ＰＴ＝ｑ・ＰＯ×(＋Ｉ)
上の式より、ＰＢ＊ＰＴ＝{ｐ・ＰＯ×(−Ｉ)}＊{ｑ・ＰＯ×(＋Ｉ)}
＝−ｐｑ{ＰＯ×(Ｉ)}＊{ＰＯ×(Ｉ)}
＝−ｐｑ{ＰＯ＊ＰＯ}
＝０
ＰＢ//ＰＴ
∴ ３点 Ｂ，Ｐ，Ｔ が一直線上にある。
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