＜例題＞正方形内に図のように半円２個があります。天円１個と地円２個が外接しながら半円に
内接しています。正方形の一辺の長さが８寸です。
(１) 天円の直径を求めなさい。
(２) 地円の直径を求めなさい。
＜解答＞天円の半径を ｒ、地円の半径を ｓ とし、点は図に在るものとする。
（１）条件より、(ＭＮ)Ｓ＝(ＭＢ＋ＢＮ)Ｓ＝(ＭＢ)Ｓ)＋(ＢＮ)Ｓ＝２×４２
４×２１/２＝|ＭＮ|
＝|ＭＰ＋ＰＱ＋ＱＲ＋ＲＮ|
＝|ＭＰ|＋|ＰＱ|＋|ＱＲ|＋|ＲＮ|
＝４×２１/２−４＋ｒ＋ｒ＋４×２１/２−４
２ｒ＝８−４×２１/２
＝２.３４３・・・
（答) 大円：２.３４３・・・寸
（２）条件と（１）より、
４×２１/２＝|ＭＮ|
１６×２＝(ＭＮ)Ｓ
＝(ＭＴ＋ＴＮ)Ｓ
＝(ＭＴ)Ｓ＋２(ＭＴ・ＴＮ)＋(ＴＮ)Ｓ
＝(４−ｓ)２＋２(ＭＴ・ＴＮ)＋(４−ｓ)２
＝２(４−ｓ)２＋２(ＭＴ・ＴＮ)
１６＝(４−ｓ)２＋(ＭＴ・ＴＮ)
１６−(４−ｓ)２＝(ＭＴ・ＴＮ)
＝(ＭＱ＋ＱＴ)・(ＴＱ＋ＱＮ)
＝ＭＱ・ＴＱ＋ＭＱ・ＱＮ＋ＱＴ・ＴＱ＋ＱＴ・ＱＮ
＝０＋ＭＱ・ＱＮ＋ＱＴ・ＴＱ＋０
＝ＭＱ・ＭＱ−ＱＴ・ＱＴ
＝(ＭＱ)Ｓ−(ＴＱ)Ｓ
＝(２×２１/２)２−(ｓ＋ｒ)２
１６−１６＋８ｓ−ｓ２＝８−ｓ２−２ｒｓ−ｒ２
８ｓ＋２ｒｓ＝８−ｒ２
８ｓ＋(８−４×２１/２)ｓ＝８−(４−２×２１/２)２
∵ （１）より，２ｒ＝８−４×２１/２、ｒ＝４−２×２１/２
(１６−４×２１/２)ｓ＝８−４(２−２１/２)２
(４−２１/２)ｓ＝２−(２−２１/２)２
＝４×２１/２−４
＝４(２１/２−１)
(４−２１/２)(４＋２１/２)ｓ＝４(２１/２−１)(２１/２＋４)
(１６−２)ｓ＝４(３×２１/２−２)
１４ｓ＝４(３×２１/２−２)
２ｓ＝４(３×２１/２−２)/７
＝４×２.２４２６４０６９・・・/７
＝１.２８１５・・・
（答) 地円：１.２８１５・・・寸
(１）は中学生用の問題、(２) は △ＮＳＭ で余弦定理、あるいは、△ＭＳＱ で
３平方の定理を使うと出来ます。 複ベクトルを使えば、そんな定理を意識する必要
はありません。演算の中にそれらの定理が全て含まれてあります。
下記リンク先の模範解答は、多分上記の解答ではないでしょう。
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