例 題 


<例題>中心が O の外円の中に2本の弦と5つの円、東円、西円、南円、北円、中円 が図のよ

    うに接している。 このとき「東円の半径×西円の半径=南円の半径×北円の半径」が成

    立することを示せ。但し、東円の半径≠西円の半径、南円の半径≠北円の半径とする。

(解答者に方針を示唆するのに、元の問題を証明問題に改題)
<解答>東西の円の中心を A、B,南北の円の中心を C、E,半径 a,b.c、e,円 D の     半径を d とする。
    条件より、(CE)=(CF+FI+IE)              =(CF)+(FI)+(IE)                   +2(CF・FH)+2(CF・HE)+2(FH・HE)              =(CF)+(FH)+(HE)+2(0)+2(CF・HE)+2(0)              =(CF)+(FI)+(HE)+2(CF・HE)       (c+2d+e)=(c)+(FH)+(e)+2(−ce)           (FH)=(c+2d+e)−c−e+2ce               =4d+4cd+4ce+4de            |FI|=2(d+cd+ce+de)1/2・・・・・・・・・・・・(1)     和算の公式から、            |FG|=|ML|=2(cd)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)          、 |GI|=|LJ|=2(de)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)     条件より、(CO)=(CF+FH+HO)              =(CF)+(FH)+(HO)                   +2(CF・FH)+2(CF・HO)+2(FH・HO)              =(CF)+(FH)+(HO)                   +2(0)+2(CF・HO)+2(0)              =(CF)+(FH)+(HO)+2(CF・HO)          (r−c)=(c)+(FH)+(r−2a)−2c(r−2a)           (FH)=(r−c)−c−(r−2a)+2c(r−2a)               =4(ar−a−ac)           |FH|=2(ar−a−ac)1/2     同様にして、|HI|=2(ar−a−ae)1/2           |MK|=2(br−b−bc)1/2           |KJ|=2(br−b−be)1/2     α=ar−a、β=br−b とおくと、          bα−aβ=bar−abr−ba+ab=−ab(a−b)・・・・(4)           |FH|=2(α−ac)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)           |HI|=2(α−ae)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)           |MK|=2(β−bc)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)           |KJ|=2(β−be)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)     条件より、|FI|=|FG|+|GI| 2(d+cd+ce+de)1/2=2(cd)1/2+2(de)1/2 (d+cd+ce+de)1/2=(cd)1/2+(de)1/2      d+cd+ce+de=cd+2(cd)1/2(de)1/2+de           d+ce=2(cd)1/2(de)1/2    d−2(ce)1/2d+ce=0        {d−(ce)1/2}=0        d−(ce)1/2=0          d=ce・・・・・・・・・・・・・・(9)     条件より、|FI|=|FH|+|HI| 2(d+cd+ce+de)1/2                 =2(α−ac)1/2+2(α−ae)1/2   (d+cd+ce+de)1/2                 =(α−ac)1/2+(α−ae)1/2+cd+ce+de=2α−ae−ac+2(α−ac)1/2(α−ae)1/2)   ce+cd+ce+de+ae+ac−2α                 =2(α−ac)1/2(α−ae)1/2)  ` 2ce+cd+de+ae+ac−2α                 =2(α−ac)1/2(α−ae)1/2)       (2ce+cd+de+ac+ae−2α) ={2(α−ac)1/2(α−ae)1/2}      (2ce+cd+de+ac+ae) −4α(2ce+cd+de+ac+ae)+4α =4(α−ac)(α−ae) =4α−4(ac+ae)α+4acae       {(2ce+cd+de)+a(c+e)} −4α(2ce+cd+de)=4acae・・・・(10)     条件より、|MK|=|MJ|+|JK|     (10)と同様にして、         {(2ce+cd+de)+b(c+e)} −4β(2ce+cd+de)=4bcbe・・・・(11)     (10)×b−(11)×a     注意:r を消去しています。     b{(2ce+cd+de)+a(c+e)} −a{(2ce+cd+de)+b(c+e)}                   −4(bα−aβ)(2ce+cd+de)                          =4abce(a−b)
注    意  これで a,b,c,d,e の関係式が求まった。この 後は因数分解をして、不要な因数を剥がしていけば、最後 に砂金のような答えが残ります。           
  −(aーb)(2ce+cd+de)+ab(a−b)(c+e)}                     −4{−ab(a−b)}(2ce+cd+de)                          =4abce(a−b)  −(2ce+cd+de)+ab(c+e)                  +4ab(2ce+cd+de)                        =4abce  ∵ (a−b)≠0 ab(c+e)+4ab(2ce+cd+de)−4abce              =(2ce+cd+de) ab{(c+e)+4(ce+cd+de)}              =(2d+cd+de)  ∵ (4)より、d=ce              =d(2d+c+e)              =d{4d+4d(c+e)+(c+e)}              =ce{4ce+4d(c+e)+(c+e)}              =ce{(c+e)+4(ce+cd+de)}        ab=ce    ∵ (c+e)+4(ce+cd+de)≠0     上の式より、東円の半径×西円の半径=南円の半径×北円の半径
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