<例題>中心が O の外円の中に2本の弦と5つの円、東円、西円、南円、北円、中円 が図のよ
うに接している。 このとき「東円の半径×西円の半径=南円の半径×北円の半径」が成
立することを示せ。但し、東円の半径≠西円の半径、南円の半径≠北円の半径とする。
(解答者に方針を示唆するのに、元の問題を証明問題に改題)
<解答>東西の円の中心を A、B,南北の円の中心を C、E,半径 a,b.c、e,円 D の
半径を d とする。
条件より、(CE)S=(CF+FI+IE)S
=(CF)S+(FI)S+(IE)S
+2(CF・FH)+2(CF・HE)+2(FH・HE)
=(CF)S+(FH)S+(HE)S+2(0)+2(CF・HE)+2(0)
=(CF)S+(FI)S+(HE)S+2(CF・HE)
(c+2d+e)2=(c)2+(FH)S+(e)2+2(−ce)
(FH)S=(c+2d+e)2−c2−eS+2ce
=4d2+4cd+4ce+4de
|FI|=2(d2+cd+ce+de)1/2・・・・・・・・・・・・(1)
和算の公式から、
|FG|=|ML|=2(cd)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)
、 |GI|=|LJ|=2(de)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)
条件より、(CO)S=(CF+FH+HO)S
=(CF)S+(FH)S+(HO)S
+2(CF・FH)+2(CF・HO)+2(FH・HO)
=(CF)S+(FH)S+(HO)S
+2(0)+2(CF・HO)+2(0)
=(CF)S+(FH)S+(HO)S+2(CF・HO)
(r−c)2=(c)2+(FH)S+(r−2a)2−2c(r−2a)
(FH)S=(r−c)2−c2−(r−2a)S+2c(r−2a)
=4(ar−a2−ac)
|FH|=2(ar−a2−ac)1/2
同様にして、|HI|=2(ar−a2−ae)1/2
|MK|=2(br−b2−bc)1/2
|KJ|=2(br−b2−be)1/2
α=ar−a2、β=br−b2 とおくと、
bα−aβ=bar−abr−ba2+ab2=−ab(a−b)・・・・(4)
|FH|=2(α−ac)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)
|HI|=2(α−ae)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)
|MK|=2(β−bc)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)
|KJ|=2(β−be)1/2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)
条件より、|FI|=|FG|+|GI|
2(d2+cd+ce+de)1/2=2(cd)1/2+2(de)1/2
(d2+cd+ce+de)1/2=(cd)1/2+(de)1/2
d2+cd+ce+de=cd+2(cd)1/2(de)1/2+de
d2+ce=2(cd)1/2(de)1/2
d2−2(ce)1/2d+ce=0
{d−(ce)1/2}2=0
d−(ce)1/2=0
d2=ce・・・・・・・・・・・・・・(9)
条件より、|FI|=|FH|+|HI|
2(d2+cd+ce+de)1/2
=2(α−ac)1/2+2(α−ae)1/2
(d2+cd+ce+de)1/2
=(α−ac)1/2+(α−ae)1/2
d2+cd+ce+de=2α−ae−ac+2(α−ac)1/2(α−ae)1/2)
ce+cd+ce+de+ae+ac−2α
=2(α−ac)1/2(α−ae)1/2)
` 2ce+cd+de+ae+ac−2α
=2(α−ac)1/2(α−ae)1/2)
(2ce+cd+de+ac+ae−2α)2
={2(α−ac)1/2(α−ae)1/2}2
(2ce+cd+de+ac+ae)2
−4α(2ce+cd+de+ac+ae)+4α2
=4(α−ac)(α−ae)
=4α2−4(ac+ae)α+4acae
{(2ce+cd+de)+a(c+e)}2
−4α(2ce+cd+de)=4acae・・・・(10)
条件より、|MK|=|MJ|+|JK|
(10)と同様にして、
{(2ce+cd+de)+b(c+e)}2
−4β(2ce+cd+de)=4bcbe・・・・(11)
(10)×b−(11)×a 注意:r を消去しています。
b{(2ce+cd+de)+a(c+e)}2
−a{(2ce+cd+de)+b(c+e)}2
−4(bα−aβ)(2ce+cd+de)
=4abce(a−b)
注 意
これで a,b,c,d,e の関係式が求まった。この
後は因数分解をして、不要な因数を剥がしていけば、最後
に砂金のような答えが残ります。
−(aーb)(2ce+cd+de)2+ab(a−b)(c+e)2}
−4{−ab(a−b)}(2ce+cd+de)
=4abce(a−b)
−(2ce+cd+de)2+ab(c+e)2
+4ab(2ce+cd+de)
=4abce ∵ (a−b)≠0
ab(c+e)2+4ab(2ce+cd+de)−4abce
=(2ce+cd+de)2
ab{(c+e)2+4(ce+cd+de)}
=(2d2+cd+de)2 ∵ (4)より、d2=ce
=d2(2d+c+e)2
=d2{4d2+4d(c+e)+(c+e)2}
=ce{4ce+4d(c+e)+(c+e)2}
=ce{(c+e)2+4(ce+cd+de)}
ab=ce ∵ (c+e)2+4(ce+cd+de)≠0
上の式より、東円の半径×西円の半径=南円の半径×北円の半径
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