＜例題＞
分数を避けるのに元の問題の短軸の直径１を半径１に改題。
＜解答＞辺 ＢＣ、ＡＯ を通る直線を ｘ軸、ｙ軸 とし、楕円の長軸の半径を ａ(ａ＞１) と
する。
下にある楕円の方程式は、
ｘ２/ａ２＋(ｙ −１)２/１２＝１・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
上にある楕円の方程式は、
ｘ２/１２＋{ｙ−(２＋ａ)}２/ａ２＝１ ・・・・・・・・・・・・・・・（２）
２点 Ａ，Ｃ の座標を (０、β)、(α、０) とすると、２点 Ａ，Ｃ を通る直線の方
程式は、ｘ/α＋ｙ/β＝１
ｘ＝−(α/β)ｙ＋α ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（３）
(１)、(３) の接点は、(１)、(３) を連立方程式として解いて求まる。
(３) を (１) に代入、{−(α/β)ｙ＋α}２/ａ２＋(ｙ−１)２/１２＝１
α２{−ｙ＋β}２＋β２ａ２(ｙ−１)２＝β２ａ２
(α２＋β２)ｙ２−２(α２β＋β２)ｙ＋α２β２＝０
条件より、(１) と (３) が接するから、判別式 Ｄ は ０。
０＝Ｄ/４
＝(α２β＋β２ａ)２−(α２＋β２)(α２β２)
＝(α２＋βａ)２−(α２＋β２)α２
＝２α２βａ２＋β２ａ４−β２α２ａ２
＝２α２ａ２＋βａ４−βα２ａ２ ∵ β＞２＋ａ から、β≠０
＝２α２＋βａ２−βα２ ∵ ａ＞１ から、ａ≠０
＝α２(２−β)＋βａ２
α２＝βａ２/(β−２)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（４）
∵ β＞２＋２ａ から、β−２＝２ａ＞２、β−２≠０
(２)、(３) の接点は、(２)、(３) を連立方程式として解いて求まる。
(３) を (２) に代入、 {−(α/β)ｙ＋α}２＋(ｙ−２−ａ)２/ａ２＝１
α２ａ２{−ｙ＋β}２＋β２{ｙ−(２＋ａ)}２＝β２ａ２
(α２ａ２＋β２)ｙ２−２{α２ａ２β＋(２＋ａ)β２}ｙ
＋α２β２ａ２＋４β２＋４ａβ２＝０
(α２ａ２＋β２)ｙ２−２β{α２ａ２＋(２＋ａ)β}ｙ
＋β２(α２ａ２＋４＋４ａ)＝０
条件より、(２) と (３) が接するから、判別式 Ｄ は ０、
０＝Ｄ/４
＝β２{α２ａ２＋(２＋ａ)β}２−(α２ａ２＋β２)β２(α２ａ２＋４＋４ａ)
＝{α２ａ２＋(２＋ａ)β}２−(α２ａ２＋β２)(α２ａ２＋４＋４ａ) ∵ β≠０
＝α４ａ４＋２(２＋ａ)ａ２α２β＋(４＋４ａ＋ａ２)β２
−(α４ａ４＋４α２ａ＋４α２ａ２)
−(α２β２＋４β２＋４ａβ２)
＝２(２＋ａ)α２β＋β２−(４α２＋４α２ａ)−α２β２
＝２(２＋ａ)α２β＋β２−(４α２＋４α２ａ)−α２β２ ∵ ａ２≠０
＝(４β＋２ａβ−４−４ａ−β２)α２＋β２
＝{２ａ(β−２)−(β−２)２}α２＋β２
＝(β−２){２ａ−(β−２)}α２＋β２ ・・・・・・・・・・・・・・・・（５）
(４)、(５) から、
０＝(β−２){２ａ−(β−２)}{βａ２/(β−２)}＋β２
＝{２ａ−(β−２)}{ａ２}＋β ∵ β≠０
＝２ａ３−(β−２)ａ２＋β
＝(−ａ２＋１)β＋(２ａ３＋２ａ２)
＝−(ａ−１)(ａ＋１)β＋２ａ２(ａ＋１)
＝−(ａ−１)β＋２ａ２ ∵ ａ＋１≠０
β＝２ａ２/(ａ−１)
上の式より、ｄβ/ｄａ＝{４ａ×(ａ−１)−２ａ２×１}/(ａ−１)２
＝(２ａ２−４ａ)/(ａ−１)２
＝(ａ−２){２ａ/(ａ−１)２}
{２ａ/(ａ−１)２}＞０ であるから、上の式より、
１＜ａ＜２ のとき、ｄβ/ｄａ＜０
２＝ａ のとき、ｄβ/ｄａ＝０
２＜ａ のとき、ｄβ/ｄａ＞０
∴ ａ＝２ のとき β は最小になり、このとき β＝２×２２/(２−１)＝８
(答) △ＡＢＣの高さの最小値は ８、このとき ａ＝２
参 考
０＝２ａ２−βａ＋β から、
ａ＝[−(−β)＋{(−β)２−４×２β}１/２]/４＝{β＋(β２−８β)１/２}/４
上の式が成立する ａ が存在するには、(β２−８β)≧０
β≧８
β の最小値 ８ で、このとき、ａ＝{８＋(０)１/２}/４＝２
それならば、判別式で軽くいけるのでない・・・？？？
まぁ、ＯＫ ではあるが・・・、そんなことを考えられる者はそうそういませ
ん。「これは難しい・・・」と言うよりも、発想に必然性がありません。 こん
な解答は受験参考書にもあり、 何んと、まぁ・・・、この種の問題の定石のよ
うです。これによって、落ちこぼれるのを催促しているような・・・？
β の最小値を求められた問題であるから、２ａ２−βａ＋β＝０ から、
β＝２ａ２/(ａ−１) と変形するのが自然で、ａ＝{β＋(β２−８β)１/２}/４
と変形するのは、通常は浮かばない。「浮かばない奴は頭が悪い」と仰っては大
変に困りますねぇ・・・！ これが和算ですか？ イエ、イエ、入試問題です。
ならば、和算と入試は同じ穴の狢ですねぇ？？？
こんな問題に解くには、式の計算にベテランの狡さが要求されます。若者には過
酷な問題です。まぁ・・・、解けなくても恥じることはありません。多分、解析幾
何学で解ける問題の限界に到達しているのでしょう。この問題は複ベクトル方程式
を使わないと・・・？？？ 使ったとしても・・・、入学試験に登場すれば、京大
か東大に合格出来る程の秀才でないと解けないかも・・・？？？
複ベクトルを使っても、それ程計算の節約にならないどころか、何と、寧ろ、よ
り長くなる。まぁ・・・、こんなこともあります。
下記ページに変換を使った上手い解答があり、
これが最高です・・・！！！
変換することを知らない者は、数学を知らない者である。
まぁ、急き立てないでねぇ・・・！！！
「これが最高です？」とは言いものの、実は・・・、首を傾げています。これ
は私の理解力の方に問題があって、多分、一の関博物館さんの答えに問題はない
でしょう。そんなハズがありません。
和算には解析幾何学はありませんし、複ベクトル幾何学、これは言うに及びま
せん。しからば・・・、変換、これしかなかったのでしょう。一の関博物館さん
にアフイン変換とありますが、これは相似変換のようです。
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