例　題　





＜例題＞定点 Ａ と定直線 ＸＹ 上にある動点 Ｂ の中点 Ｐ はどこにあるか。但し、定点 Ａ

　　　　から定直線 ＸＹ に垂線を降ろし、その足を Ｈ とする。

＜解答＞直線 ＡＨ の中点を Ｍ とする。

　　　　　　　ＭＰ・ＡＨ＝(ＭＡ＋ＡＰ)・ＡＨ

　　　　　　　　　　　　＝{(１/２)・ＨＡ＋(１/２)・ＡＢ}・ＡＨ

　　　　　２(ＭＰ・ＡＨ)＝(ＨＡ＋ＡＢ)・ＡＨ

　　　　　　　　　　　　＝ＨＢ・ＡＨ＝０

　　　　　　　ＭＰ・ＡＨ＝０

　　　　上の式より、点 Ｐ は直線 ＡＨ の垂直２等分線上にある。


＜別解＞直線 ＡＨ の中点を Ｍ とする。

　　　　条件から、ＭＰ＊ＨＢ＝(ＭＡ＋ＡＰ)＊(ＨＡ＋ＡＢ)

　　　　　　　　　　　　　　＝ＭＡ＊ＨＡ＋ＭＡ＊ＡＢ＋ＡＰ＊ＨＡ＋ＡＰ＊ＡＢ

　　　　　　　　　　　　　　＝ＭＡ＊ＡＢ＋ＡＰ＊ＨＡ

　　　　　　　　　　　　　　＝(１/２)・ＨＡ＊ＡＢ＋(１/２)・ＡＢ＊ＨＡ

　　　　　　　２(ＭＰ＊ＨＢ)＝ＨＡ＊ＡＢ＋ＡＢ＊ＨＡ

　　　　　　　　　　　　　　＝ＨＡ＊ＡＢ−ＨＡ＊ＡＢ＝０

　　　　　　　　　ＭＰ＊ＨＢ＝０

　　　　上の式より、点 Ｐ は Ｍ を通り、直線 ＸＹ に平行な直線上にある。


＜別解＞直線 ＡＨ の中点を Ｍ とする。

　　　　条件から、　　ＡＰ＝２・ＡＢ

　　　　　　　　　　ｄＡＰ＝２・ｄＡＢ

　　　　　　ｄ(ＡＭ＋ＭＰ)＝２・ｄ(ＡＨ＋ＨＢ)

　　　　　　　　　ｄ(ＭＰ)＝２・ｄ(ＨＢ)

　　　　上の式より、点 Ｐ は Ｍ を通り、直線 ＸＹ に平行な直線上にある。





＜例題＞２点 Ａ、Ｂ から等距離にある Ｐ はどこにあるか。

＜解答＞条件より、|ＰＡ|＝|ＰＢ|

　　　　　　　　　ＰＡＳ＝ＰＢＳ

　　　　　　　　　　　０＝ＰＢＳ−ＰＡＳ

　　　　　　　　　　　　＝(ＰＢ−ＰＡ)・(ＰＢ＋ＰＡ)

　　　　　　　　　　　　＝(ＡＰ＋ＰＢ)・(ＰＢ＋ＰＡ)

　　　　　　　　　　　　＝ＡＢ・(ＰＢ＋ＰＡ)

　　　　２点 Ａ、Ｂ の中点を Ｍ とすると、

　　　　　　　　　　　０＝ＡＢ・(ＰＭ＋ＭＢ＋ＰＭ＋ＭＡ)

　　　　　　　　　　　　＝ＡＢ・(２・ＰＭ＋ＭＢ＋ＭＡ)

　　　　　　　　　　　　＝ＡＢ・(２・ＰＭ＋◎)

　　　　　　　　　　　　＝ＡＢ・ＰＭ

　　　　上の式より、点 Ｐ は直線 ＡＢ の垂直２等分線上にある。


＜別解＞条件より、　　　|ＰＡ|＝|ＰＢ|

　　　　 　　　　　　　　ＰＡＳ＝ＰＢＳ

　　　　　　　２・ＰＡ・ｄ(ＰＡ)＝２・ＰＢ・ｄ(ＰＢ)

　　　　　　　　　ＰＡ・ｄ(ＰＡ)＝ＰＢ・ｄ(ＰＢ)

　　　　　　ＰＡ・ｄ(ＰＯ＋ＯＡ)＝ＰＢ・ｄ(ＰＯ＋ＯＢ)

　　　　　　　　　ＰＡ・ｄ(ＰＯ)＝ＰＢ・ｄ(ＰＯ)

　　　　　　　　　　　　　　　０＝−ＰＡ・ｄ(ＰＯ)＋ＰＢ・ｄ(ＰＯ)

　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ＡＰ＋ＰＢ)・ｄ(ＰＯ)

　　　　　　　　　　　　　　　　＝ＡＢ・ｄ(ＰＯ)

　　　　　　　　　　　　　　　ｃ＝ＡＢ・ＰＯ

　　　　直線 ＡＢ の中点を Ｍ とすると、ｃ＝ＡＢ・ＭＯ

　　　　上の式より、０＝ＡＢ・ＰＯ−ＡＢ・ＭＯ

　　　　　　　　　　　＝ＡＢ・(ＰＯ−ＭＯ)

　　　　　　　　　　　＝ＡＢ・(ＰＯ＋ＯＭ)

　　　　　　　　　　　＝ＡＢ・ＰＭ

　　　　上の式より、点 Ｐ は直線 ＡＢ の垂直２等分線上にある。





＜例題＞平行四辺形 ＯＡＣＢ があり、ＡＰ・ＯＢ＝ＢＰ・ＯＢ が成立する点 Ｐ はどこにあ

　　　　るか。

＜解答＞条件より、ＡＰ・ＯＢ＝ＢＰ・ＯＢ

　　　　上の式を微分すると、ｄ(ＡＰ)・ＯＡ＝ｄ(ＢＰ)・ＯＢ

　　　　　　　　　　　ｄ(ＡＯ＋ＯＰ)・ＯＡ＝ｄ(ＢＯ＋ＯＰ)・ＯＢ

　　　　　　　　　　　　　　ｄ(ＯＰ)・ＯＡ＝ｄ(ＯＰ)・ＯＢ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０＝−ｄ(ＯＰ)・ＯＡ＋ｄ(ＯＰ)・ＯＢ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ＡＯ＋ＯＢ)・ｄ(ＯＰ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ＡＢ・ｄ(ＯＰ)

　　　　上の式より、点 Ｐ は ＡＢ と直交する直線上にある。

　　　　ＡＰ・ＯＡ＝ＢＰ・ＯＢ の Ｐ に Ｃ を代入、

　　　　　　　　　　　　　ＡＣ・ＯＡ＝ＢＣ・ＯＢ

　　　　　　　　　(ＡＯ＋ＯＣ)・ＯＡ＝(ＢＯ＋ＯＣ)・ＯＢ

　　　　　　(ＡＯ＋ＯＡ＋ＯＢ)・ＯＡ＝(ＢＯ＋ＯＡ＋ＯＢ)・ＯＢ
　
　　　   　　　∵　条件より、四角形 ＯＡＣＢ は平行四辺形であるから、ＯＣ＝ＯＡ＋ＯＢ

　　　　　　　　　　　　　ＯＢ・ＯＡ＝ＯＡ・ＯＢ

　　　　上の式より、点 Ｃ は ＡＰ・ＯＢ＝ＢＰ・ＯＢ を通る。

　　　　以上により、点 Ｐ は 点 Ｃ を通り、ＡＢ と直交する直線上にある。





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