例　題　





＜例題＞２点 Ａ、Ｂ を通る２本の直線が直交するとき、交点 Ｐ はどこにあるか。

＜解答＞２点 Ａ、Ｂ の中点を Ｍ とすると、

　　　　条件より、０＝ＰＡ・ＰＢ

　　　　　　　　　　＝(ＰＭ＋ＭＡ)・(ＰＭ＋ＭＢ)

　　　　　　　　　　＝ＰＭ・ＰＭ＋ＰＭ・ＭＢ＋ＭＡ・ＰＡ＋ＭＡ・ＭＢ

　　　　　　　　　　＝ＰＭＳ＋ＰＭ・(ＭＢ＋ＭＡ)＋ＭＡ・ＭＢ

　　　　　　　　　　＝ＰＭＳ＋ＰＭ・(◎)＋{(−１/２)・ＡＢ}・{(１/２)・ＡＢ}

　　　　　　　　　　＝ＭＰＳ−(１/４)(ＡＢ)Ｓ

　　　　　　　ＭＰＳ＝(１/４)|ＡＢ|２

　　　　上の式より、交点 Ｐ は直線 ＡＢ の中点を中心とし、半径が |ＡＢ|/２ の円周上に

　　　　　　　　　　ある。


＜別解＞２点 Ａ、Ｂ の中点を Ｍ とすると、

　　　　条件より、０＝ＰＡ・ＰＢ

　　　　　　　　　　＝ｄ(ＰＡ)・(ＰＢ)＋ｄ(ＰＢ)・(ＰＡ)

　　　　　　　　　　＝ｄ(ＰＭ)・(ＰＭ＋ＭＢ)＋ｄ(ＰＭ)・(ＰＭ＋ＭＡ)

　　　　　　　　　　＝ｄ(ＰＭ)・ＰＭ＋ｄ(ＰＭ)・ＭＢ＋ｄ(ＰＭ)・ＰＭ＋ｄ(ＰＭ)・ＭＡ

　　　　　　　　　　＝２・ＰＭ・ｄ(ＰＭ)＋ｄ(ＰＭ)・(ＭＢ＋ＭＡ)

　　　　　　　　　　＝２・ＰＭ・ｄ(ＰＭ)

　　　　　　　　　　＝ｄ(ＰＭＳ)

　　　　　　　　　ｃ＝ＰＭＳ

　　　　上の式より、交点 Ｐ は直線 ＡＢ の中点を中心とする円周上にある。


ベクトルにも自由に微分が使える時代が来るのを期待をしつつ・・・！！！

現在の数学では ｄｘ、ｄｙ は ｄｙ/ｄｘ でないと無意味です。

そこから一歩前に進みましょう。





＜例題＞座標平面上に原点 Ｏ，点 Ａ(０，１) をとり、次の条件が成立する時、点 Ｐ はどん

　　　　な図形を描くか。

　　　　１）(ＯＡ＋ＯＰ)・(ＯＡ−ＯＰ)＝０

　　　　２）(ＯＡ＋ＯＰ)・(ＯＡ−ＯＰ)＝０

　　　　３）２１/２(ＯＡ・ＯＰ)＝|ＯＰ|

＜解答＞１）条件より、０＝(ＯＡ＋ＯＰ)・(ＯＡ−ＯＰ)

　　　　　　　　　　　　＝(ＯＡ)Ｓ−(ＯＰ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　＝１−(ＯＰ)Ｓ

　　　　　　　　(ＯＰ)Ｓ＝１

　　　　　　上の式より、点 Ｐ は原点を中心に半径 １ の円周上にある。


　　　　２）条件より、　　　　　　|ＯＡ＋ＯＰ|＝|ＯＡ−ＯＰ|

　　　　　　　　　　　　　　  　(ＯＡ＋ＯＰ)Ｓ＝(ＯＡ−ＯＰ)Ｓ

　　　　　　  (ＯＡ)Ｓ＋２(ＯＡ・ＯＰ)＋ＯＰ)Ｓ＝(ＯＡ)Ｓ−２(ＯＡ・ＯＰ)＋(ＯＰ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　　　　２(ＯＡ・ＯＰ)＝−２(ＯＡ・ＯＰ)

　　　　　　　　　　　　　　　　４(ＯＡ・ＯＰ)＝０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＯＡ・ＯＰ＝０

　　　　　　上の式より、点 Ｐ は原点を通り、ＯＡ と直行する直線上にある。


　　　　３）条件より、 ２１/２(ＯＡ・ＯＰ)}＝|ＯＰ|

　　　　　　　　　　　　　  ２(ＯＡ・ＯＰ)＝(ＯＰ)Ｓ

　　　　　　ＯＰ＝(ｘ，ｙ) とおくと、

　　　　　　　　  ２{(０，１)・(ｘ、ｙ)}２＝(ｘ，ｙ)Ｓ
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　  ２ｙ２＝ｘ２＋ｙ２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０＝ｘ２−ｙ２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ｘ−ｙ)(ｘ＋ｙ)

　　　　　　上の式より、点 Ｐ は ｘ−ｙ＝０　or　ｘ＋ｙ＝０ で表される直線上にある。





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