＜例題＞円 Ｏ の弧 ＡＢ 上に定点 Ｃ があり、|ＣＡ|２＋|ＣＢ|２＝４ｋ２ が一定のとき、
弦 ＡＢ の中点 Ｐ はどこにあるか。
＜解答＞条件より、４ｋ２＝|ＣＡ|２＋|ＣＢ|２
＝ＣＡＳ＋ＣＢＳ
＝(ＣＯ＋ＯＡ)Ｓ＋(ＣＯ＋ＯＢ)Ｓ
＝ＣＯＳ＋２(ＣＯ・ＯＡ)＋ＯＡＳ＋ＣＯＳ＋２(ＣＯ・ＯＢ)＋ＯＢＳ
＝４ｒ２＋２(ＣＯ・ＯＡ)＋２(ＣＯ・ＯＢ)
４ｋ２−４ｒ２＝２(ＣＯ・ＯＡ)＋２(ＣＯ・ＯＢ)
２ｋ２−２ｒ２＝ＣＯ・ＯＡ＋ＣＯ・ＯＢ
＝ＣＯ・(ＯＡ＋ＯＢ)
＝ＣＯ・(２・ＯＰ) ∵ ＯＰ＝(１/２)・(ＯＡ＋ＯＢ)
ＣＯ・ＯＰ＝ｋ２−ｒ２
Ｄ が上の式が成立する点とすると、
ＣＯ・ＯＤ＝ｋ２−ｒ２
ＣＯ・ＤＰ＝０
上の式より、Ｐ は Ｄ を通り、ＣＯ と直交する直線上にある。（制限があります）
＜別解＞条件より、４ｋ２＝ＣＡＳ＋ＣＢＳ
ｄ(４ｋ２)＝ｄ{ＣＡ)Ｓ＋(ＣＢ)Ｓ}
０＝２・ＣＡ・ｄ(ＣＡ)＋２・ＣＢ・ｄ(ＣＢ)
＝ＣＡ・ｄ(ＣＡ)＋ＣＢ・ｄ(ＣＢ)
＝ＣＡ・ｄ(ＣＯ＋ＯＡ)＋ＣＢ・ｄ(ＣＯ＋ＯＢ)
＝ＣＡ・ｄ(ＯＡ)＋ＣＢ・ｄ(ＯＢ)
＝(ＣＯ＋ＯＡ)・ｄ(ＯＡ)＋(ＣＯ＋ＯＢ)・ｄ(ＯＢ)
＝ＣＯ・ｄ(ＯＡ)＋ＯＡ・ｄ(ＯＡ)＋ＣＯ・ｄ(ＯＢ)＋ＯＢ・ｄ(ＯＢ)
＝ＣＯ・ｄ(ＯＡ)＋ＣＯ・ｄ(ＯＢ) ∵ Ａ，Ｂ は円周上の点である。
＝ＣＯ・ｄ(ＯＡ＋ＯＢ)
＝ＣＯ・ｄ(２・ＯＰ) ∵ ＯＰ＝(１/２)・(ＯＡ＋ＯＢ)
＝ＣＯ・ｄ(ＯＰ)
ＣＯ・ＯＰ＝ｃ
Ｄ が上の式が成立する点とすると、
ＣＯ・ＯＤ＝ｃ
ＣＯ・ＤＰ＝０
上の式より、Ｐ は Ｄ を通り、ＣＯ と直交する直線上にある。（制限があります）
微分を使うと大概計算が容易になるが、これはどうでしょうかねぇ？
行数は長いが、計算が容易でしょう。
ｄ(ＯＰ) とは何ぞや・・・！！！ これを大学の数学に答えを求めてはいけません。
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