＜例題＞円周上の定点 Ａ を通る直線と円周との交点を Ｐ とし、その直線上にもう一点 Ｑ が
あり、ＡＰ・ＡＱ＝ｒ が成立するとき、点 Ｐ はどこにあるか。
＜解答＞直線 ＡＢ を円の直径とし、Ｐ１、Ｑ１、Ｐ２、Ｑ２ が条件に適する点とすると、
ＡＰ１・ＡＱ１＝ｒ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
ＡＰ２・ＡＱ２＝ｒ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
(１)、(２) より、
ＡＢ・Ｑ１Ｑ２
＝ＡＢ・(Ｑ１Ａ＋ＡＱ２)
＝ＡＢ・Ｑ１Ａ＋ＡＢ・ＡＱ２
＝(ＡＰ１＋Ｐ１Ｂ)・Ｑ１Ａ＋(ＡＰ２＋Ｐ２Ｂ)・ＡＱ２
＝ＡＰ１・Ｑ１Ａ＋Ｐ１Ｂ・ＡＱ１＋ＡＰ２・ＡＱ２＋Ｐ２Ｂ・ＡＱ２
＝ＡＰ１・Ｑ１Ａ＋ＡＰ２・ＡＱ２ ∵ Ｐ１Ｂ⊥ＡＱ１、Ｐ２Ｂ⊥ＡＱ２
＝−ＡＰ１・ＡＱ１＋ＡＰ２・ＡＱ２
＝−ｒ＋ｒ＝０
ＡＢ・Ｑ１Ｑ２＝０
上の式より、点 Ｑ は ＡＢ・ＡＨ＝ｋ が成立する Ｈ を通り、直線 ＡＢ と直交する
直線上にある。
＜別解＞条件より、ＡＰ・ＡＱ＝ｒ
ｒ＝(ＡＢ＋ＢＰ)・ＡＱ
＝ＡＢ・ＡＱ＋ＢＰ・ＡＱ
＝ＡＢ・ＡＱ
ｄｒ＝ｄ(ＡＢ・ＡＱ)
０＝ＡＢ・ｄ(ＡＱ)
＝ＡＢ・ｄ(ＡＯ＋ＯＱ)
＝ＡＢ・ｄ(ＯＱ)
ＡＢ・ｄ(ＯＱ)＝０
上の式より、点 Ｑ は ＡＢ・ＡＨ＝ｋ が成立する Ｈ を通り、直線 ＡＢ と直交する
直線上にある。
こんな解答が理想なんですが、これは高校数学はおろか、大学の数学へ行ても通じ
ないでしょう。ここで使われてある ｄ(ＡＱ)、ｄ(ＯＱ) に割り算を使うならば、敷
居の高い数学「複素関数論」となり、大学の後半、あるいは、大学院の数学になりま
すが、本当は、それ程敷居が高くないのです。講義をしている大学教授連中が消化不
良を起こしているもんだから、敷居が高く見えるだけなんです。
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