例　題　





＜例題＞長方形 ＡＢＣＤ と動点 Ｐ の間に |ＰＡ|＋|ＰＣ|＝|ＰＢ|＋|ＰＤ| が成立するとき、

　　　　動点 Ｐ はどこにあるか。

＜解答＞条件から、　　　　　　 |ＰＡ|＋|ＰＣ|＝|ＰＢ|＋|ＰＤ|

                   　　　　{|ＰＡ|＋|ＰＣ|}２＝{|ＰＢ|＋|ＰＤ|}２

            |ＰＡ|２＋２|ＰＡ||ＰＣ|＋|ＰＣ|２＝|ＰＢ|２＋２|ＰＢ||ＰＤ|＋|ＰＤ|２

　　　　長方形 ＡＢＣＤ の対角線の交点を Ｏ とすると、　

            (ＰＯ＋ＯＡ)２＋２|ＰＡ||ＰＣ|＋(ＰＯ＋ＯＣ)２

　　　　　　　　　　　＝(ＰＯ＋ＯＢ)２＋２|ＰＢ||ＰＤ|＋(ＰＯ＋ＯＤ)２

            (ＰＯ)２＋２(ＰＯ・ＯＡ)＋(ＯＡ)２＋２|ＰＡ||ＰＣ|

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋(ＰＯ)２＋２(ＰＯ・ＯＣ)＋(ＯＣ)２

　　　　　　　　　　　＝(ＰＯ)２＋２(ＰＯ・ＯＢ)＋(ＯＢ)２＋２|ＰＢ||ＰＤ|＋(ＰＯ)２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋２(ＰＯ・ＯＤ)＋(ＯＤ)２

            ２(ＰＯ・ＯＢ)＋２|ＰＡ||ＰＣ|＋２(ＰＯ・ＯＣ)

　　　　　　　　　　　＝２(ＰＯ・ＯＢ)＋２|ＰＢ||ＰＤ|＋２(ＰＯ・ＯＤ)

　　　　　　　　　　|ＰＡ||ＰＣ|＝|ＰＢ||ＰＤ|

　　　　同様にして、|ＰＡ||ＰＤ|＝|ＰＢ||ＰＣ|

　　　　上の式よリ、　　　|ＰＡ|＝|ＰＢ|

　　　　上の式よリ、Ｐ は対角線の交点 Ｏ を通り、辺 ＡＤ，ＢＣ に平行な直線上にある。

　　　　同様にして、Ｐ は対角線の交点 Ｏ を通り、辺 ＡＢ，ＤＣ に平行な直線上にもある。





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