例　題　





＜例題＞原点 ０ を中心とし、半径３の円周上の点 Ｐ と２点 Ａ(６，０)，Ｂ(３，３) がある。

　　　　この３点を頂点とする △ＡＢＰ の重心を Ｇ とするとき、Ｇ はどこにあるか。

＜解答＞条件より、ＡＧ＋ＢＧ＋ＰＧ＝◎　

　　　　　　　　　◎＝ＡＯ＋ＯＧ＋ＢＯ＋ＯＧ＋ＰＯ＋ＯＧ　

　　　　　　　　ＯＰ＝３・ＯＧ−ＯＡ−ＯＢ

　　　　　　　　　　＝３・{ＯＧ−(１/３)・(ＯＡ＋ＯＢ)}

　　　　　　　ＯＰＳ＝９・{ＯＧ−(１/３)・(ＯＡ＋ＯＢ)}Ｓ

　　　　　　　　　９＝９・{ＯＧ−(１/３)・(ＯＡ＋ＯＢ)}Ｓ　∵　条件より、ＯＰＳ＝９

　　　　　　　　　１＝{ＯＧ−(１/３)・(９，３)}Ｓ　∵　条件より、Ａ(６，０)，Ｂ(３，３) 

　　　　　　　　　１＝|ＯＧ−(３，１)|２

　　　　上の式より、点 Ｐ は中心が (３，１) で、半径が １ の円周上にある。


＜例題＞ｘｙ平面のｘ軸上に Ａ、ｙ軸上に Ｂ があり、直線 ＡＢ の長さが一定 (２ａ) のと

　　　　き、ＡＢ の中点 Ｐ はどこにあるか。

＜解答＞条件より、ＡＰ＝ＰＢ

　　　　　　ＡＯ＋ＯＰ＝ＰＯ＋ＯＢ

　　　　　　　２・ＯＰ＝ＯＡ＋ＯＢ

   　　　　４(ＯＰ)Ｓ＝ＯＡＳ＋２(ＯＡ・ＯＢ)＋ＯＢＳ

　　　　　　　　　　　＝ＯＡＳ＋ＯＢＳ    ∵　ＯＡ⊥ＯＢ

　　　　　　　　　　　＝(２ａ)２

　　　　　　　　ＯＰＳ＝ａ２

　　　　上の式より、点 Ｐ は中心が原点で、半径が ａ の円周上にある。


＜例題＞円内の定点 Ａ を通る弦の中心 Ｐ はどこにあるか。

＜解答＞円の中心を Ｏ とし、弦の両端を Ｘ，Ｙ、ＯＡ の中心を Ｍ とすると、

　　　　条件より、ＸＹ・ＰＯ＝(ＸＯ＋ＯＹ)・{(１/２)・(ＸＯ＋ＹＯ)}

　　　　　　　　　　　　　　＝(１/２)(ＯＸＳ−ＯＹＳ)＝０

　　　　上の式より、０＝ＡＰ・ＰＯ

　　　　　　　　　　　＝(ＡＭ＋ＭＰ)・(ＰＭ＋ＭＯ)

　　　　　　　　　　　＝ＡＭ・ＰＭ＋ＡＭ・ＭＯ＋ＭＰ・ＰＭ＋ＭＰ・ＭＯ

　　　　　　　　 ＭＰＳ＝ＡＭ・ＰＭ＋ＡＭ・ＭＯ＋ＭＰ・ＭＯ

　　　　　　　　　　　＝ＡＭ・ＰＭ＋ＡＭ・ＡＭ＋ＭＰ・ＡＭ

　　　　　　　　　　　＝ＡＭ・ＰＭ＋ＡＭ・ＡＭ−ＰＭ・ＡＭ

　　　　　　　　　　　＝ＡＭＳ

　　　　　　　　　　　＝{(１/２)・ＡＯ}Ｓ

　　　　　　ＭＰＳ＝(|ＡＯ|/２)２

　　　　上の式より、点 Ｐ は中心が ＯＡ の中点で、半径が |ＡＯ|/２ の円周上にある。





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