＜例題＞２定点 Ａ、Ｂ と動点Ｐがあり、|ＰＡ|２＋|ＰＢ|２＝ｋ が成立しているとき、動点 Ｐ
は２定点 Ａ、Ｂ の中点を中心とする円周上にあることを示せ。
＜解答＞２定点 Ａ、Ｂ の中点を Ｏ とする。
条件より、ｋ＝|ＰＡ|２＋|ＰＢ|２
＝ＰＡＳ＋ＰＢＳ
＝(ＰＯ＋ＯＡ)Ｓ＋(ＰＯ＋ＯＢ)Ｓ
＝ＰＯＳ＋２(ＰＯ・ＯＡ)＋ＯＡＳ＋ＰＯＳ＋２(ＰＯ・ＯＢ)＋ＯＢＳ
＝２(ＰＯ)Ｓ＋２{ＰＯ・(ＯＡ＋ＯＢ)}＋ＯＡＳ＋ＯＢＳ
＝２(ＰＯ)Ｓ＋ＯＡＳ＋ＯＢＳ
(ＯＰ)Ｓ＝(ｋ−ＯＡＳ−ＯＢＳ)/２
上の式より、動点 Ｐ は２定点 Ａ、Ｂ の中点を中心とする円周上にある。
＜別解＞２定点 Ａ、Ｂ の中点を Ｏ とする。
条件より、ｋ＝|ＰＡ|２＋|ＰＢ|２
０＝２・ＰＡ・ｄ(ＰＡ)＋２・ＰＢ・ｄ(ＰＢ)
＝ＰＡ・ｄ(ＰＡ)＋ＰＢ・ｄ(ＰＢ)
＝ＰＡ・ｄ(ＰＯ＋ＯＡ)＋ＰＢ・ｄ(ＰＯ＋ＯＢ)
＝ＰＡ・ｄ(ＰＯ)＋ＰＢ・ｄ(ＰＯ)
＝(ＰＡ＋ＰＢ)・ｄ(ＰＯ)
＝(ＰＯ＋ＯＡ＋ＰＯ＋ＯＢ)・ｄ(ＰＯ)
＝２・ＰＯ・ｄ(ＰＯ)
＝ｄ(ＰＯ)Ｓ
ｃ＝(ＰＯ)Ｓ
上の式より、動点 Ｐ は２定点 Ａ、Ｂ の中点を中心とする円周上にある。
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