＜例題＞一直線上に３点 Ｏ、Ａ、Ｂ があり、点 Ｐ と Ａ の中点 Ｍ とする。ＯＭ とＰＢ が
直交するとき、点 Ｐ はどこにあるか。
＜解答＞条件より、ＯＭ・ＢＰ＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
ＰＭ＝ＭＡ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
(２) より、ＰＯ＋ＯＭ＝ＭＯ＋ＯＡ
ＯＭ＝(１/２)・(ＯＡ＋ＯＰ)
上の式を（１）に代入、
０＝{(１/２)・(ＯＡ＋ＯＰ)}・ＢＰ
＝(ＯＡ＋ＯＰ)・ＢＰ
＝(ＯＡ＋ＯＧ＋ＧＰ)・(ＢＧ＋ＧＰ)
＝ＯＡ・ＢＧ＋ＯＡ・ＧＰ＋ＯＧ・ＢＧ＋ＯＧ・ＧＰ＋ＧＰ・ＢＧ＋(ＧＰ)Ｓ
＝(ＧＰ)Ｓ＋(ＯＡ＋ＯＧ＋ＢＧ)・ＧＰ＋ＯＡ・ＢＧ＋ＯＧ・ＢＧ
ＯＡ＋ＯＧ＋ＢＧ＝◎ とおくと、 ＯＧ＝(１/２)・(ＡＯ＋ＯＢ)＝(１/２)・ＡＢ
０＝(ＧＰ)Ｓ＋◎＋ＯＡ・ＢＧ＋ＯＧ・ＢＧ
(ＧＰ)Ｓ＝−ＯＡ・ＢＧ−ＯＧ・ＢＧ
＝−ＯＡ・(ＢＯ＋ＯＧ)−ＯＧ・(ＢＯ＋ＯＧ)
＝−ＯＡ・(−ＯＢ＋ＯＧ)−ＯＧ・(−ＯＢ＋ＯＧ)
＝ＯＡ・ＯＢ−ＯＡ・ＯＧ＋ＯＧ・ＯＢ−(ＯＧ)Ｓ
＝ＯＡ・ＯＢ−ＯＡ・{(１/２)・(ＡＯ＋ＯＢ)}
＋{(１/２)・(ＡＯ＋ＯＢ)}・ＯＢ−{(１/２)・(ＡＯ＋ＯＢ)}Ｓ
４(ＧＰ)Ｓ＝４(ＯＡ・ＯＢ)＋２(ＯＡ)Ｓ−２(ＯＡ・ＯＢ)
−２(ＯＡ・ＯＢ)＋２(ＯＢ)Ｓ−(ＯＡ)Ｓ＋２(ＯＡ・ＯＢ)−(ＯＢ)Ｓ
＝(ＯＡ)Ｓ＋２(ＯＡ・ＯＢ)＋(ＯＢ)Ｓ
＝(ＯＡ＋ＯＢ)Ｓ
ＧＰＳ＝{(１/２)・(ＯＡ＋ＯＢ)}Ｓ
上の式より、点 Ｐ は 中心が (１/２)・(ＡＢ) で、半径が |(１/２)・(ＯＡ＋ＯＢ)|
の円周上にある。但し、３点 Ｏ、Ａ、Ｂ がある直線上は除く。
| 
