＜例題＞一辺の長さが ２ａ の正方形ＡＢＣＤ の辺 ＢＣ、ＣＤ 上を２点 Ｅ、Ｆ が |ＢＥ|＝
|ＣＦ| が成立しながら移動している。 直線 ＡＥ、ＢＤ の交点を Ｐ とするとき、Ｐ
はどこにあるか。
＜解答＞|ＢＥ|＝|ＣＦ|＝ｋ とおく。
条件より、ＡＥ・ＢＦ＝(ＡＢ＋ＢＥ)・(ＢＣ＋ＣＦ)
＝ＡＢ・ＢＣ＋ＡＢ・ＣＦ＋ＢＥ・ＢＣ＋ＢＥ・ＣＦ
＝ＡＢ・ＣＦ＋ＢＥ・ＢＣ
＝−２ａ×ｋ＋ｋ×２ａ＝０
上の式より、０＝ＰＡ・ＰＢ
辺 ＡＢ の中点を Ｏ とすると、
０＝(ＰＯ＋ＯＡ)・(ＰＯ＋ＯＢ)
＝ＰＯ・ＰＯ＋ＰＯ・ＯＢ＋ＯＡ・ＰＯ＋ＯＡ・ＯＢ
＝ＰＯ・ＰＯ＋(ＯＢ＋ＯＡ)・ＰＯ＋ＯＡ・ＯＢ
＝ＯＰＳ＋(◎)・ＰＯ−ａ２
ＯＰＳ＝ａ２
上の式から、点 Ｐ は中心が辺 ＡＢ の中心で、半径が |ＡＢ|/２ の円周上にある。
但し、|ＢＥ|＝|ＣＦ|≠０，２ａ から、四角形ＯＡＣＤの内部にあり、
点 Ａ、Ｂ は除く。
＜例題＞座標平面上に Ａ(ａ，０)、Ｂ(０，ａ)、Ｃ(ａ，ａ) があり、直線 ＯＡ、ＡＣ 上に
ＯＤ＝ＣＥ となる２点 Ｄ、Ｅ がある。 このとき、ＢＥ⊥ＤＦ となる Ｆ が直線
ＢＥ 上にあるとき、Ｆ はどこにあるか。
＜解答＞|ＯＤ|＝ｔ とすると、|ＣＥ|＝ｔ、０≦ｔ＜ａ
条件より、０＝ＤＦ・ＢＥ
＝(ＤＢ＋ＢＦ)・ＢＥ
＝ＤＢ・ＢＥ＋ＢＦ・ＢＥ
ＢＦ＝ｋ・ＢＥ とおくと、
０＝ＤＢ・ＢＥ＋ｋ(ＢＥ・ＢＥ)
ｋ＝(ＢＤ・ＢＥ)/ＢＥＳ＝２ａｔ/ＢＥＳ
ＢＦ＝ｋ・ＢＥ より、ＢＦ＝ｋ・ＢＥ
ＢＯ＋ＯＦ＝ｋ・ＢＥ
ＯＦ＝ＯＢ＋ｋ・ＢＥ
上の式から、
ＯＦＳ＝(ＯＢ＋ｋ・ＢＥ)Ｓ
＝ＯＢＳ＋２ｋ(ＯＢ・ＢＥ)＋ｋ２×ＢＥＳ
＝ＯＢＳ＋２ｋ(−ａｔ)＋ｋ２×ＢＥＳ
＝ＯＢＳ＋２×２ａｔ/ＢＥＳ×(−ａｔ)＋{２ａｔ/ＢＥＳ}２×ＢＥＳ
＝ＯＢＳ−４ａ２ｔ２/ＢＥＳ＋４ａ２ｔ２/ＢＥＳ
ＯＦＳ＝ａ２
上の式から、点 Ｆ は中心が原点で半径が ａ の円周上にある。
但し、０≦ｔ＜ａから、四角形ＯＡＣＤ の内部にあり、
点 Ａ は除くが、点 Ｂ は除かない。
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