例　題　




 
＜例題＞円 ＯＱＳ＝ｒ２ の円外の動点 Ｐ から引いた２本の接線が直交するとき、Ｐ はどこに

　　　　あるか。

＜解答＞２本の接線の接点を Ａ，Ｂ とすると、

　　　　条件より、ＰＡ・ＰＢ＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

　　　　　　　　　ＯＡ・ＡＰ＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）

　　　　　　　　　ＯＢ・ＢＰ＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（３）

　　　　上の式から、∠ＡＰＢ＝∠ＰＡＯ＝∠ＰＢＯ＝π/２ より、

　　　　∠ＡＯＢ＝π/２ となるから、

　　　　　　　　　ＯＡ・ＯＢ＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（４）

　　　　(１）より、 ０＝ＰＡ・ＰＢ

　　　　　　　　　　　＝(ＰＯ＋ＯＡ)・(ＰＯ＋ＯＢ)

　　　　　　　　　　　＝(ＰＯ)Ｓ＋(ＯＡ＋ＯＢ)・ＰＯ＋ＯＡ・ＯＢ

　　　　　　　　　　　＝(ＰＯ)Ｓ＋(ＯＡ＋ＯＢ)・ＰＯ   ∵ ４）より、ＯＡ・ＯＢ＝０

　　　　　　　 (ＯＰ)Ｓ＝−(ＯＡ＋ＯＢ)・ＰＯ

　　　　　　　　　　　＝(ＯＡ＋ＯＢ)・ＯＰ

　　　　　　　　　　　＝ＯＡ・ＯＰ＋ＯＢ・ＯＰ

　　　　　　　　　　　＝ＯＡ・(ＯＡ＋ＡＰ)＋ＯＢ・(ＯＢ＋ＢＰ)

　　　　　　　　　　　＝ＯＡ・ＯＡ＋ＯＡ・ＡＰ＋ＯＢ・ＯＢ＋ＯＢ・ＢＰ

　　　　　　　　　　　＝ＯＡ・ＯＡ＋ＯＢ・ＯＢ

                          　  ∵　(２)、(３）より、ＯＡ・ＡＰ＝ＯＢ・ＢＰ＝０

　　　　　　　　　　　＝２ｒ２

　　　　　　　　 |ＯＰ|２＝２ｒ２

　　　　上の式より、点 Ｐ は中心が原点で、半径が (２１/２ｒ) の円周上にある。





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