例　題　




 
＜例題＞一辺の長さが ２ａ の正三角形ＡＢＣ の内部にある点 Ｐ があり、次式成立していると

　　　　き、点 Ｐ はどこにあるか。

|ＰＡ|２＝|ＰＢ|２＋|ＰＣ|２
＜解答＞条件より、ＡＰＳ＝ＢＰＳ＋ＣＰＳ

　　　　　(ＡＮ＋ＮＰ)Ｓ＝(ＢＮ＋ＮＰ)Ｓ＋(ＣＮ＋ＮＰ)Ｓ

　　　　　(ＡＮ)Ｓ＋２(ＡＮ・ＮＰ)＋(ＮＰ)Ｓ

　　　　　　　　　　　＝(ＢＮ)Ｓ＋２(ＢＮ・ＮＰ)＋(ＮＰ)Ｓ

                                       ＋(ＣＮ)Ｓ＋２(ＣＮ・ＮＰ)＋(ＮＰ)Ｓ

　　　　　(ＡＮ)Ｓ＋２(ＡＮ・ＮＰ)

　　　　　　　　　　　＝(ＢＮ)Ｓ＋２(ＢＮ・ＮＰ)＋(ＮＰ)Ｓ＋(ＣＮ)Ｓ＋２(ＣＮ・ＮＰ)

　　　　　　　(ＮＰ)Ｓ＝２(ＡＮ・ＮＰ)−２(ＢＮ・ＮＰ)

                                 −２(ＣＮ・ＮＰ)＋(ＡＮ)Ｓ−(ＢＮ)Ｓ−(ＣＮ)Ｓ

　　　　　　　　　　　＝２(ＡＮ−ＢＮ−ＣＮ)・ＮＰ＋(ＡＮ)Ｓ−(ＢＮ)Ｓ−(ＣＮ)Ｓ

　　　　　ＡＮ−ＢＮ−ＣＮ＝◎ とおくと、ＡＮ＝ＢＮ＋ＣＮ

　　　　　　　(ＮＰ)Ｓ＝２(◎・ＮＰ)＋(ＡＮ)Ｓ−(ＢＮ)Ｓ−(ＣＮ)Ｓ

　　　　　　　　　　　＝(ＡＮ)Ｓ−(ＢＮ)Ｓ−(ＣＮ)Ｓ

　　　　　　　　　　　＝(ＢＮ＋ＣＮ)Ｓ−(ＢＮ)Ｓ−(ＣＮ)Ｓ

　　　　　　　　　　　＝２(ＢＮ・ＣＮ)

　　　　　ＡＮ＝ＢＮ＋ＣＮ から、ＡＯ＋ＯＮ＝ＢＯ＋ＯＮ＋ＣＯ＋ＯＮ

　　　　　Ｏ を ＢＣ の中点にとると、  ＯＮ＝ＡＯ−ＢＯ−ＣＯ＝ＡＯ＝−ＯＡ

　　　　　このとき、(ＮＰ)Ｓ＝２×ａ×ａ×cos(π/３)＝(２ａ)２

　　　　　上の式より、Ｐ は ＢＣ を対称軸とする Ａ の対称点を中心とし、

　　　　　　　　　　　半径が ２ａ とする円周上にある。但し、三角形の内部





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