例　題　





＜例題＞定円 Ｏ と円外に定点 Ａ がある、円周上に動点 Ｑ、ＡＱ 上に点 Ｐ があって、

　　　　|ＡＰ||ＡＱ|＝ｍ が成立するとき Ｐ はどこにあるか。

＜解答＞条件より、ＡＰ・ＡＱ＝ｍ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

　　　　　　　　　ＯＱＳ＝ｒ２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）

　　　　条件より、Ａ、Ｐ、Ｑ が一直線上にあるから、ＡＱ＝ｋ・ＡＰ とおくと、

　　　　　　　ＡＰ・ＡＱ＝ＡＰ・(ｋ・ＡＰ)＝ｋ(ＡＰ)Ｓ

　　　　　　　　　　　ｍ＝ｋ(ＡＰ)Ｓ

　　　　　　　　　　　ｋ＝ｍ/(ＡＰ)Ｓ

　　　　上の式より、ＡＱ＝ｍ/(ＡＰ)Ｓ・ＡＰ

　　　　　　　ＡＯ＋ＯＱ＝ｍ/(ＡＰ)Ｓ・ＡＰ

　　　　　　　　　　ＯＱ＝ｍ/(ＡＰ)Ｓ・ＡＰ＋ＯＡ

　　　　　　　　　ＯＱＳ＝{ｍ/(ＡＰ)Ｓ・ＡＰ}Ｓ＋２ｍ/(ＡＰ)Ｓ(ＡＰ・ＯＡ)＋ＯＡＳ

　　　　　　　　　　ｒ２＝{ｍ/(ＡＰ)Ｓ・ＡＰ}Ｓ＋２ｍ/(ＡＰ)Ｓ(ＡＰ・ＯＡ)＋ＯＡＳ

　　　　　　　　　　　０＝{ｍ/(ＡＰ)Ｓ・ＡＰ}Ｓ＋２ｍ/(ＡＰ)Ｓ(ＡＰ・ＯＡ)＋ＯＡＳ−ｒ２

　　　　　　　　　　　 ＝ｍ２＋２ｍ(ＡＰ・ＯＡ)＋{ＯＡＳ−ｒ２}(ＡＰ)Ｓ

　　　　　　　　　　　 ＝ｍ２＋２ｍ{(ＡＸ＋ＸＰ)・ＯＡ}＋{ＯＡＳ−ｒ２}(ＡＸ＋ＸＰ)Ｓ

　　　　　　　　　　　 ＝{ＯＡＳ−ｒ２}(ＸＰ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　　　＋{２ｍ・ＯＡ＋２(ＯＡＳ−ｒ２)・ＡＸ}・ＸＰ

                                    ＋ｍ２＋２ｍ(ＡＸ・ＯＡ)＋(ＯＡＳ−ｒ２)(ＡＸ)Ｓ

　　　　２ｍ・ＯＡ＋２(ＯＡＳ＋ｒ２)・ＡＸ＝◎ と置くと、

　　　　ＡＸ＝−{ｍ/(ＯＡＳ−ｒ２)}・ＯＡ

　　　　　　　　　　　０＝{ＯＡＳ−ｒ２}(ＸＰ)Ｓ＋{◎}・ＸＰ＋ｍ２

                                                 −{ｍ２/(ＯＡＳ−ｒ２)}ＯＡＳ

　              (ＸＰ)Ｓ＝{ｍ２ｒ２}/(ＯＡＳ−ｒ２)２

　　　　上の式より、点 Ｐ は中心は ＡＸ＝{ｍ/(ＯＡＳ−ｒ２)}・ＡＯ が成立する Ｘ で、

　　　　　　　　　　半径が ｍｒ/(ＯＡＳ−ｒ２) の円周上にある。





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