例　題　




 
＜例題＞座標平面において、△ＡＢＣ は ＢＡ・ＣＡ＝０ を満たしている。この平面上の点 Ｐ

　　　　が下の条件を満たすとき、Ｐ はどのような図形上の点であるか。

ＡＰ・ＢＰ＋ＢＰ・ＣＰ＋ＣＰ・ＡＰ＝０
＜解答＞条件より、

　　　　　　０＝ＡＰ・ＢＰ＋ＢＰ・ＣＰ＋ＣＰ・ＡＰ

　　　　　　　＝(ＡＧ＋ＧＰ)・(ＢＧ＋ＧＰ)

　　　　　　　　　　　　＋(ＢＧ＋ＧＰ)・(ＣＧ＋ＧＰ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　＋(ＣＧ＋ＧＰ)・(ＡＧ＋ＧＰ)

　　　　　　　＝ＡＧ・ＢＧ＋(ＡＧ＋ＢＧ)・ＧＰ＋(ＧＰ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　　　　＋ＢＧ・ＣＧ＋(ＢＧ＋ＣＧ)・ＧＰ＋(ＧＰ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ＣＧ・ＡＧ＋(ＣＧ＋ＡＧ)・ＧＰ＋(ＧＰ)Ｓ

　　　　　　　＝３(ＧＰ)Ｓ＋{２・(ＡＧ＋ＢＧ＋ＣＧ)}・ＧＰ＋ＡＧ・ＢＧ＋ＢＧ・ＣＧ

                                                                      ＋ＣＧ・ＡＧ

　　　　ＡＧ＋ＢＧ＋ＣＧ＝◎ と置くと、Ｇ は △ＡＢＣ の重心。

　　　　　　　　　０＝３(ＧＰ)Ｓ＋ＡＧ・ＢＧ＋ＢＧ・ＣＧ＋ＣＧ・ＡＧ

　　　　　　　　　　＝３(ＧＰ)Ｓ＋ＡＧ・(ＢＡ＋ＡＧ)＋(ＢＡ＋ＡＧ)・(ＣＡ＋ＡＧ)

                                                              ＋(ＣＡ＋ＡＧ)・ＡＧ

　　　　　　　　　　＝３(ＧＰ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　＋ＡＧ・ＢＡ＋(ＡＧ)Ｓ

                                ＋ＢＡ・ＣＡ＋ＢＡ・ＡＧ＋ＡＧ・ＣＡ＋(ＡＧ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ＣＡ・ＡＧ＋(ＡＧ)Ｓ

　　　　　　　　　　＝３(ＧＰ)Ｓ＋３(ＡＧ)Ｓ−(２・ＡＧ)・(ＡＢ＋ＡＣ)

                                           ∵　条件より、ＢＡ・ＣＡ＝０

　　　　　　　　　　＝３(ＧＰ)Ｓ＋３(ＡＧ)Ｓ−(２・ＡＧ)・(ＡＧ＋ＧＢ＋ＡＧ＋ＧＣ)

　　　　　　　　　　＝３(ＧＰ)Ｓ＋３(ＡＧ)Ｓ−(２・ＡＧ)・(２・ＡＧ＋ＧＢ＋ＧＣ)

　　　　　　　　　　＝３(ＧＰ)Ｓ＋３(ＡＧ)Ｓ−(２・ＡＧ)・(２・ＡＧ＋ＡＧ)

                                            ∵　ＡＧ＋ＢＧ＋ＣＧ＝◎

　　　　　　　　　　＝３(ＧＰ)Ｓ＋３(ＡＧ)Ｓ−(２・ＡＧ)・(３・ＡＧ)

　　　　　　　　　　＝(ＧＰ)Ｓ＋(ＡＧ)Ｓ−２(ＡＧ)Ｓ

　　　　　　　　　　＝(ＧＰ)Ｓ−(ＡＧ)Ｓ

　　　　　　(ＧＰ)Ｓ＝(ＡＧ)Ｓ

　　　　上の式より、点 Ｐ は △ＡＢＣ の重心を中心とし、頂点 Ａ を通る円周上にある。





ここをクリックして，誤り，ご意見，ご質問を送って下ださい。