例　題　





＜例題＞ＡＤ//ＢＣ，|ＡＢ|＝５，|ＢＣ|＝７，|ＣＤ|＝６，|ＤＡ|＝４ である四角形ＡＢＣＤ

　　　　の面積を求めよ。

＜解答＞　　　　　　　　　　　ＡＢ＋ＢＣ＝ＡＤ＋ＤＣ

　　　   　　　　　　　　　(ＡＢ＋ＢＣ)Ｓ＝(ＡＤ＋ＤＣ)Ｓ

  　　　　　ＡＢＳ＋２(ＡＢ・ＢＣ)＋ＢＣＳ＝ＡＤＳ＋２(ＡＤ・ＤＣ)＋ＤＣＳ

　　　　上の式に |ＡＢ|＝５，|ＢＣ|＝７，|ＣＤ|＝６，|ＤＡ|＝４ を代入、

  　　 　　５２＋２(ＡＢ・ＢＣ)＋７２＝４２＋２(ＡＤ・ＤＣ)＋６Ｓ

　　　　　　　　７４＋２(ＡＢ・ＢＣ)＝５２＋２(ＡＤ・ＤＣ)

　　　　　　　　　　　２(ＡＢ・ＢＣ)＝２(ＡＤ・ＤＣ)−２２

　　　　　  　　　　　　　ＡＢ・ＢＣ＝ＡＤ・ＤＣ−１１

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝{(４/７)・ＢＣ}・(ＤＡ＋ＡＢ＋ＢＣ)−１１

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(４/７)(ＢＣ・ＤＡ＋ＢＣ・ＡＢ＋ＢＣ・ＢＣ)−１１

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(４/７)(−４×７＋ＢＣ・ＡＢ＋７×７)−１１

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(４/７)(ＢＣ・ＡＢ)−１６＋２８−１１

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(４/７)(ＢＣ・ＡＢ)＋１

　　　　　　　　　　　　　ＡＢ・ＢＣ＝７/３

　　　　(ＡＢ・ＢＣ)２＋(ＡＢ＊ＢＣ)２＝|ＡＢ|２|ＢＣ|２ から、

　　　　　　　　　　　(ＡＢ＊ＢＣ)２＝|ＡＢ|２|ＢＣ|２−(ＡＢ・ＢＣ)２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２５×４９−(７/３)２＝４９×２２４/９

　　　　　　　　　　　　　ＢＡ＊ＢＣ＝７×４×(１４)１/２/３

　　　　上の外積の値から、

　　　　　　　ｓ(四角形ＡＢＣＤ)＝(１/２)×(ＢＡ＊ＢＣ)＋(１/２)×(ＤＣ＊ＤＡ)

　　　　　　２ｓ(四角形ＡＢＣＤ)＝ＢＡ＊ＢＣ＋ＤＣ＊ＤＡ

　　　　　　　　　　　　　　　　＝ＢＡ＊ＢＣ＋(ＤＡ＋ＡＢ＋ＢＣ)＊{(４/７)・ＣＢ}

　　　　　　　　　　　　　　　　＝ＢＡ＊ＢＣ＋(４/７)(ＡＢ＊ＣＢ)

　　　　　　　　　　　　　　　　＝ＢＡ＊ＢＣ＋(４/７)(ＢＡ＊ＢＣ)

　　　　　　　　　　　　　　　　＝(１１/７)(ＢＡ＊ＢＣ)

　　　　　　　　　　　　　　　　＝(１１/７)×７×４×(１４)１/２/３

　　　　　　　　　　　　　　　　＝(４４)×(１４)１/２/３

　　　　　　　ｓ(四角形ＡＢＣＤ)＝２２×(１４)１/２/３・・・・・・・・・・・・（答）



　ユークリット幾何学で解こうとすると、答えに繋がる補助線を見つける必要が

あるが、ベクトルならばその必要が無く計算だけで済ませる。「だから、簡単に

なる」とは限らない。我々はこれをデカルトの解析幾何学で十分に経験済みであ

る。有効な補助線を発見出来れば、ユークリット幾何学の方が速い。この問題で

は「Ａ を通り ＤＣ に平行な直線と ＢＣ との交点を Ｅ とする」が有効。　 






＜例題＞ＡＤ//ＢＣ である台形ＡＢＣＤ の辺 ＡＤ、ＢＣ の中点を Ｅ，Ｆ とし、ＥＦ の中

　　　　点を Ｏ とするとき、 Ｏ を通り、辺 ＡＤ，ＢＣ と交わる直線は台形ＡＢＣＤ の面

　　　　積を２等分することを示せ。

＜解答＞Ｏ を通る直線が辺 ＡＤ，ＢＣ と点 Ｐ、Ｑ で交わるとする。

　　　　条件より、ＡＤ//ＢＣ

　　　　　　　　　ＰＥ：ＦＱ＝ＰＥ＊ＰＱ：ＦＱ＊ＰＱ

　　　　　　　　　　　　　　＝(ＰＯ＋ＯＥ)＊ＰＱ：(ＦＯ＋ＯＱ)＊ＰＱ

　　　　　　　　　　　　　　＝ＯＥ＊ＰＱ：ＦＯ＊ＰＱ

　　　　　　　　　　　　　　＝ＯＥ＊ＰＱ：ＯＥ＊ＰＱ　　　∵　ＦＯ＝ＯＥ

　　　　　　　　　　　　　　＝１：１

  　　　　　　　　　　　ＰＥ＝ＦＱ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

　　　　上の式と条件より、

            ｓ(□ＡＢＱＰ)−ｓ(□ＰＱＣＤ)

　　　　　　　　　＝(１/２)(ＢＰ＊ＡＱ)−(１/２)(ＱＤ＊ＰＣ)

           ２ｓ(□ＡＢＱＰ)−２ｓ(□ＰＱＣＤ)

　　　　　　　　　＝ＢＰ＊ＡＱ−ＱＤ＊ＰＣ

　　　　　　　　　＝(ＢＱ＋ＱＰ)＊(ＡＰ＋ＰＱ)−(ＱＰ＋ＰＤ)＊(ＰＱ＋ＱＣ)

　　　　　　　　　＝ＢＱ＊ＡＰ＋ＢＱ＊ＰＱ＋ＱＰ＊ＡＰ＋ＱＰ＊ＰＱ

　　　　　　　　　　　　　　　−ＱＰ＊ＰＱ−ＱＰ＊ＱＣ−ＰＤ＊ＰＱ−ＰＤ＊ＱＣ

　　　　　　　　　＝ＢＱ＊ＰＱ＋ＱＰ＊ＡＰ−ＱＰ＊ＱＣ−ＰＤ＊ＰＱ

                                   ∵　条件より、ＢＱ//ＡＰ、ＰＤ//ＱＣ

　　　　　　　　　＝(ＢＱ＋ＡＰ−ＱＣ−ＰＤ)＊ＰＱ

　　　　　　　　　＝(ＢＦ＋ＦＱ＋ＡＥ＋ＥＰ−ＱＦ−ＦＣ−ＰＥ−ＥＤ)＊ＰＱ

　　　　　　　　　＝(ＦＱ＋ＥＰ−ＱＦ−ＰＥ)＊ＰＱ

　　　　　　　　　　∵　(１）より、ＰＥ＝ＦＱ、　条件より、ＡＥ＝ＥＤ、ＢＦ＝ＦＣ　　

　　　　　　　　　＝(２・ＦＱ＋２・ＥＰ)＊ＰＱ

　　　　　　　　　＝２・(ＦＱ＋ＥＰ)＊ＰＱ

　　　　　　　　　＝２・◎＊ＰＱ 　　　∵　(１）より、ＰＥ＝ＦＱ

　　　　　　　　　＝０

　　　　∴　ｓ(□ＡＢＱＰ)＝ｓ(□ＰＱＣＤ)


この問題はユークリット幾何の方が良い解答になります。高等な数学を使えば、

良い解答になるとは限りません。


    
　ユークリット幾何の証明　






ここをクリックして，誤り，ご意見，ご質問を送って下ださい。