＜問題＞[１} ａ＝３＋２×２１/２，ｂ＝２＋３１/２ とすると、
１/ａ＝(ア)−(イ)×(ウ)１/２
１/ｂ＝(エ)−(オ)１/２
ａ/ｂ−ｂ/ａ＝(カ)×(キ)１/２−(ク)×(ケ)１/２
である。このとき、不等式 |２ａｂｘ−ａ２|＜ｂ２ を満たすｘの値は、
(コ)×(サ)１/２−(シ)×(ス)１/２＜ｘ＜(セ)−(ソ)×(タ)１/２
となる。
{２} 実数 ａ，ｂ に関する条件 ｐ、ｑ を次のように定める。
ｐ：(ａ＋ｂ)２＋(ａ−２ｂ)２＜５
ｑ：|ａ＋ｂ|＜１ or |ａ−２ｂ|＜２
(１) 次の (０)、(１)、(２)、(３) のうち、命題「ｑ ⇒ ｐ」に対する反例
になっているのは (チ）である。
(０) ａ＝０，ｂ＝０、 (１) ａ＝１，ｂ＝０、
(２) ａ＝０，ｂ＝１、 (３) ａ＝１，ｂ＝１、
(２) 命題「ｐ ⇒ ｑ」に対する対偶命題は「(ツ) ⇒ (テ)」である。
(０) |ａ＋ｂ|＜１ and |ａ−２ｂ|＜２
(１) (ａ＋ｂ)２＋(ａ−２ｂ)２＜５
(２) |ａ＋ｂ|＜１ or |ａ−２ｂ|＜２
(３) (ａ＋ｂ)２＋(ａ−２ｂ)２≦５
(４) |ａ＋ｂ|≧１ and |ａ−２ｂ|≧２
(５) (ａ＋ｂ)２＋(ａ−２ｂ)２＞５
(６) |ａ＋ｂ|≧１ or |ａ−２ｂ|≧２
(７) (ａ＋ｂ)２＋(ａ−２ｂ)２≧５
(３) ｐ は ｑ であるための（ト）
(０) 必要十分条件である。
(１) 必要十分条件であるが、十分条件でない。
(２) 十分条件であるが、必要条件でない。
(３) 必要十分条件でも十分条件でもない。
＜解答＞{１} 条件より、
１/ａ＝１/(３＋２×２１/２)
＝(３−２×２１/２)/(３＋２×２１/２)(３−２×２１/２)
＝３−２×２１/２
１/ｂ＝１/(２＋３１/２)＝(２−３１/２)/(２＋３１/２)(２−３１/２)
＝２−３１/２
ａ/ｂ＝(３＋２×２１/２)×(２−３１/２)
＝６−３×３１/２＋４×２１/２−２×６１/２
ｂ/ａ＝(２＋３１/２)×(３−２×２１/２)
＝６−４×２１/２＋３×３１/２−２×６１/２
ａ/ｂ−ｂ/ａ＝８×２１/２−６×３１/２
ａ/ｂ＋ｂ/ａ＝１２−４×６１/２ (これは不等式を解くのに必要)
|２ａｂｘ−ａ２|＜ｂ２
−ｂ２＜２ａｂｘ−ａ２＜ｂ２
ａ２−ｂ２＜２ａｂｘ＜ａ２＋ｂ２
(ａ２−ｂ２)/(ａｂ)＜２ｘ＜(ａ２＋ｂ２)/(ａｂ)
(ａ/ｂ−ｂ/ａ)＜２ｘ＜(ａ/ｂ＋ｂ/ａ)
８×２１/２−６×３１/２＜２ｘ＜１２−４×６１/２
４×２１/２−３×３１/２＜ｘ＜６−２×６１/２
(ア)−(イ)×(ウ)１/２、 (エ)−(オ)１/２、 (カ)×(キ)１/２−(ク)×(ケ)１/２
(３)−(２)×(２)１/２、 (２)−(３)１/２、 (８)×(２)１/２−(６)×(３)１/２
(コ)×(サ)１/２−(シ)×(ス)１/２＜ｘ＜(セ)−(ソ)×(タ)１/２
(４)×(２)１/２−(３)×(３)１/２＜ｘ＜(６)−(２)×(６)１/２
下手をすると計算のジャングルにもぐり込んでしまいます。それを避けることが出
来る小技がない生徒は「大学への入門はお断り」だそうです。これは当然でしょう。
ご立派な論文を書く力量がメインではあるのは勿論ではあるが、そのためには小技も
ある程度必要不可欠です。
{２}（１）ａ＝１，ｂ＝１ とすると、
|ａ−２ｂ|＝|１−２×１|＝|−１|＝１＜２ より、
ｑ が成立する。
(ａ＋ｂ)２＋(ａ−２ｂ)２＝(１＋１)２＋(１−２×１)２＝５＜５ より、
ｐ が成立しない。
（２）「ｐ ⇒ ｑ」の対偶は「ｑｎ ⇒ ｐｎ」
（|ａ＋ｂ|＜１ or |ａ−２ｂ|＜２）でない
⇒ (ａ＋ｂ)２＋(ａ−２ｂ)２＜５ でない。
|ａ＋ｂ|≧１ and |ａ−２ｂ|≧２
⇒ (ａ＋ｂ)２＋(ａ−２ｂ)２≧５
（３）「ｐ ⇒ ｑ」は成立する。
ｑｎ とすると、
（|ａ＋ｂ|＜１ or |ａ−２ｂ|＜２）でない。
|ａ＋ｂ|≧１ and |ａ−２ｂ|≧２
(ａ＋ｂ)２＋(ａ−２ｂ)２≧５
(ａ＋ｂ)２＋(ａ−２ｂ)２＜５ でないから、ｐｎ
∴ ｑｎ ⇒ ｐｎ」
「ｐ ⇒ ｑ」
（１）より、反例があるから、「ｑ ⇒ ｐ」は成立しない。
ｐ は ｑ であるための十分条件であるが、必要条件でない。
（１） (チ）
(３）
（２） (ツ) ⇒ (テ)
(４) ⇒ (７)
(３) (ト）
(２）
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