＜問題＞ａ，ｂ，ｃ を定数とし、ａ≠０、ｂ≠０ とする。次の ｘ の２次関数のグラフを Ｇ
とする。
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１)
Ｇ が ｙ＝−３ｘ２＋１２ｂｘ のグラフと同じ軸をもつとき、
ａ＝(アイ)/(ウ)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２)
となる。更に、Ｇ が点（１，２ｂ−１）を通るとき、
ｃ＝ｂ−(エ)/(オ)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（３)
が成り立つ。
以下（２)、(３）が成立するとき、(１) の２次関数とそのグラフ Ｇ を考える。
（１）Ｇ とそのグラフがｘ軸と異なる２点で交わるような ｂ の範囲は、
ｂ＜(エ)/(オ) (エ)/(オ)＜ｂ
である。更に、Ｇ とｘ の正の部分が異なる２点で交わるような ｂ の範囲は、
(サ)/(シ)＜ｂ＜(ス)/(セ)
（２）ｂ＞０ とする。
０≦ｘ≦ｂ における２次関数（１）の最小値が −１/４ であるとき、
ｂ＝(ソ)/(タ)
ｂ≦ｘ における２次関数（１）の最大値が ３ であるとき、
ｂ＝(チ)/(ツ)
ｂ＝(ソ)/(タ)、ｂ＝(チ)/(ツ) のときの（１）のグラフを Ｇ１、Ｇ２ とする。
Ｇ１ を ｘ軸方向に (テ)、ｙ軸方向に (ト) だけ平行移動すれば、Ｇ２ と
一致する。
＜解答＞(１) より、 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ
＝ａ{ｘ２＋(ｂ/ａ)ｘ}＋ｃ
＝ａ{(ｘ＋ｂ/２ａ)２−ｂ２/４ａ２}＋ｃ
＝ａ(ｘ＋ｂ/２ａ)２−(ｂ２−４ａｃ)/４ａ
ｙ＝−３ｘ２＋１２ｂｘ から、
ｙ＝−３ｘ２＋１２ｂｘ
＝−３{ｘ２−４ｂｘ}
＝−３{(ｘ−２ｂ)２−４ｂ２}
＝−３(ｘ−２ｂ)２＋１２ｂ２
条件より、上の２つの２次関数のグラフの軸が一致するから、
−ｂ/２ａ＝２ｂ
−１＝４ａ
ａ＝−１/４
ａ＝(アイ)/(ウ)
条件より、（１）は点 (１，２ｂ−１) を通るから、
２ｂ−１＝ａ＋ｂ＋ｃ
＝−１/４＋ｂ＋ｃ
ｃ＝ｂ−(３/４)
ｃ＝ｂ−(エ)/(オ)
（１）条件より、Ｇ を表わす２次関数は、
ｙ＝−(１/４)ｘ２＋ｂｘ＋ｂ−(３/４)
上の式より、Ｇ とそのグラフがｘ軸と異なる２点で交わるには、
方程式 −(１/４)ｘ２＋ｂｘ＋ｂ−(３/４)＝０ の判別式(Ｄ)が正であるから、
Ｄ＝ｂ２−４(−１/４)(ｂ−３/４)＞０
４ｂ２＋４ｂ−３＞０
(２ｂ−１)(２ｂ＋３)＞０
ｂ＜−３/２ or １/２＜ｂ・・・・・・・・・・・・・・（１）
ｂ＜(エ)/(オ) (エ)/(オ)＜ｂ
Ｇ とそのグラフがｘ軸と正の部分で交わるには、ｘ２−４ｂｘ−４ｂ＋３＝０
の１次の係数が負で、定数項が正であるから、
４ｂ＞０ and −４ｂ＋３＞０
０＜ｂ＜３/４・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２)
(１)、(２) より、 １/２＜ｂ＜３/４
(サ)/(シ)＜ｂ＜(ス)/(セ)
（１）条件より、Ｇ を表わす２次関数は、
ｙ＝−(１/４)ｘ２＋ｂｘ＋ｂ−(３/４)
−４{ｙ−ｂ＋(３/４)}
＝ｘ２−４ｂｘ
＝(ｘ−２ｂ)２−４ｂ２
−４{ｙ−ｂ＋(３/４)}＋４ｂ２
＝(ｘ−２ｂ)２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（３)
(２) イ）０≦ｘ≦ｂ のとき、−２ｂ≦ｘ−２ｂ≦−ｂ
ｂ２≦(ｘ−２ｂ)２≦４ｂ２・・・・・・・・・・・・・・・・・（４)
(３)、(４) より、ｂ２≦−４{ｙ−ｂ＋(３/４)}＋４ｂ２≦４ｂ２
−３ｂ２≦−４{ｙ−ｂ＋(３/４)}≦０
３ｂ２/４≧ｙ−ｂ＋(３/４)≧０
３ｂ２/４＋ｂ−(３/４)≧ｙ≧ｂ−(３/４)
上の式から、ｙ の最小値は、ｂ−(３/４)
条件より、このときの ｙ の最小値は、−１/４ であるから、
ｂ−(３/４)＝−１/４
ｂ＝２/４＝１/２
ｂ＝(ソ)/(タ)
ロ）ｂ≦ｘ のとき、−ｂ≦ｘ−２ｂ
０≦(ｘ−２ｂ)２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（５)
（注意：ここは落とし穴ですよ。中学校で経験したでしょう）
(３)、(５) より、０≦−４{ｙ−ｂ＋(３/４)}＋４ｂ２
−４ｂ２≦−４{ｙ−ｂ＋(３/４)}
ｂ２≧ｙ−ｂ＋(３/４)
ｂ２＋ｂ−(３/４)≧ｙ
上の式から、ｙ の最大値は、ｂ２＋ｂ−(３/４)
条件より、このときの ｙ の最大値は、３ であるから、
ｂ２＋ｂ−(３/４)＝３
４ｂ２＋４ｂ−３＝１２
４ｂ２＋４ｂ−１５＝０
(２ｂ＋５)(２ｂ−３)＝０
２ｂ−３＝０ ∵ ｂ＞０
ｂ＝３/２
ｂ＝(チ)/(ツ)
ｂ＝１/２ のとき、ａ＝−１/４、ｃ＝−１/４
Ｇ１ の方程式は、ｙ＝−(１/４)ｘ２＋(１/２)ｘ−１/４
＝−(１/４){ｘ２−２ｘ}−１/４
＝−(１/４){(ｘ−１)２−１}−１/４
、
＝−(１/４)(ｘ−２)２
ｂ＝３/２ のとき、ａ＝−１/４、ｃ＝３/４
Ｇ２ の方程式は、ｙ＝−(１/４)ｘ２＋(３/２)ｘ＋３/４
＝−(１/４){ｘ２−６ｘ}＋３/４
＝−(１/４){(ｘ−３)２−９}＋３/４
、
＝−(１/４)(ｘ−３)２＋３/２
Ｇ１ と Ｇ２ の方程式より、ｘ軸方向に ２、ｙ軸方向に ３ 平行移動すると、
Ｇ１ が Ｇ２ のグラフになる。ｘ軸方向に (テ)、ｙ軸方向に (ト)
上記の解答は、２次関数問題を解くときの当ホームページお勧めの解法ですが、どう
やら、それ程適当ではなさそうです。落とし穴に落ちる可能性大です。グラフを頭に描
いて教科書か参考書にあるように解答する方が足を落とすことが少ないでしょう。
センターの奴が当ホームページを封鎖するような問題を出しあがって、
何か恨みでもあるのかねぇ・・・。けしからん・・・！！！
当ホームページの２次関数問題の解き方を見てください。そんじょそこらの教科書と
は解法の哲学が違います。但し、常にこの方が良いとも言えません。まぁ、問題により
けり・・・？？？
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