＜例題＞Ｅθ・Ｉ＝(cosθ，sinθ) を証明せよ。 ｅｉθ＝cosθ＋ｉsinθ のことです。
＜証明＞指数の定義から，
Ｅθ・Ｉ＝Exp{Ｉ・θ×Log(Ｅ)}
＝Exp{(０，θ)×Ｒ}
＝Exp(０，θ)
＝ｅ０・Rot(θ)
＝１・(cosθ，sinθ)
∴ Ｅθ・Ｉ＝(cosθ，sinθ)
証明をするには，そのための足場(指数の定義)を用意しておかねばなりません。天
才オイラーもそこまでは用意してくれませんでした。創造者にそれを要求するのは酷
でしょう。これは凡人が受け持つべき仕事です。数学は天才のインスピレーションだ
けでは足りないようです。
これまでに出版された書籍の中には、数学としてのまともな証明を探しても見つか
りません。オイラーやその後に続く西洋の数学者が証明をしてないのです。まぁ、そ
れらしきものは無いではありません。従って、先人が書いた文献を漁ってきて、本を
書いているような落ちこぼれの大学教授連中に証明は決して書けません。「オイラー
の贈り物(吉田武著)」をご覧になって、そのことを実感して下さい。京大教授は言う
に及ばず、日本じゅうの全ての大学の教授は、皆枕を並べて落ちこぼれ・・・。まぁ
、お気になさいますなぁ。西洋では天才と言うことになっているオイラーも、実・は
・落・ち・さ・ん・・・？？？
まぁ、ねぇ、大学教授の肩書きをちらつかせたって、そんなことでは、とてもとて
も信用が出来ませんねぇ・・・！！！ そんなものを全てゴミ箱に捨てて・・・。但
し、ねぇ、ゴミ箱は捨てませんよ。使えそうなものだけを、後でこっそりと、拾って
来なくてはなりませんから・・・。当ホームページの数学はそんな数学ですよ。
皆さんが暗中模索しておられますねぇ・・・、まぁ、しようがないでしょう！！！
「大学教授連中にも証明は決して書けません」こうなんですから。
ｅθｉ＝１＋(θｉ)１/１！＋(θｉ)２/２！＋(θｉ)３/３！＋(θｉ)４/４！＋・・・
＝(１−θ２/２！＋θ４/４！−・・・)＋ｉ(θ−θ１/３！＋θ１/５！−・・・)
＝cosθ＋ｉsinθ
ｘ が実数のときは ｅｘ の定義がありますから、次式を証明すること出来ます。
ｅｘ＝１＋ｘ１/１！＋ｘ２/２！＋ｘ３/３！＋・・・
この ｘ を 複素数 θｉ に変えて、はたして、同じ式が成立するのかどうか？
ｅθｉ＝１＋(θｉ)１/１！＋(θｉ)２/２！＋・・・？？？
これは指数が複素数になったときの定義が無くては、誰にも確かめられません。
この時点では、その定義が無いのです。
では ｅθｉ＝１＋(θｉ)１/１！＋・・・を定義にしましょう・・・？？？
こんなのは無茶苦茶でしょう。それでも、
大学教授の権威を背景にして、頑張られると、困ったもんだなぁ・・・。
まぁ、手探り中にある数学としては認めましょう。
事実、この式は正しくて、証明が出来るようになります。
さりながら、
これでは数学になっていないでしょう。
では、どうすれば良いのか？ 先ず微分方程式 ｄＹ/ｄＸ＝Ｙ の解を Ｙ＝ｅＸ でなく、
Ｙ＝Exp(Ｘ) とし、その逆関数を Ｘ＝Log(Ｙ) とし、この Exp(Ｘ)、Log(Ｙ) を使って
複素数の指数を次式で定義します。
ＡＢ＝Exp{Ｂ×Log(Ａ)}
そうすると、この定義から ＥθＩ＝Exp{θＩ×Log(ｅ)}＝Exp(θＩ) となります。この
Exp(θＩ) を経由して ＥθＩ＝１＋(θＩ)１/１！＋(θＩ)２/２！＋・・・ を簡単に証明
することが出来ます。この証明が出来れば疑問は何もありません。これで始めに書いた証明
が正しいことが納得できます。まぁ、そんなことをやっているならば、微分方程式をちゃん
と解いて Exp(Ｘ)、Log(Ｙ) を具体的に求めて、つまり、次式を求め、
Exp(ｐ，θ)＝ｅｐ・Rot(θ)，Log{ｅｐ・Rot(θ)}＝(ｐ，θ)
これと指数の定義を使って、素直に証明する方が数学として本道でしょう。このページの
始めに書いた複ベクトルの証明はそんな証明になっています。ここで級数展開式を持ち出す
と、それが収束するかしないか・・・、こんなことも確かめないと、本当は数学としては駄
目なんです。それは大変に厄介だから ｅｐ・Rot(θ) を導くときにそれを済ませておいて、
ここでは持ち出さなくても良いことにしておかないと、やる気がしませんねぇ。
複ベクトルの 指数、対数を Exp(Ｘ)、Log(Ｘ)、ＡＢ の順序で定義をしてい
く。これも本当はちょっと飛び過ぎで、amp(Ｘ)、arg(Ｘ)、Log(Ｘ)、Exp(Ｘ) を定義し、
最後に ＡＢ の順序で積み上げていくのが理想でしょう。階段を一段一段、確かな足取りで
・・・。数学は天才のインスピレーションだけでは足りないのです。
ついでに複ベクトルのオイラーの公式
「落ちこぼれの大学教授連中には困ったもんだな・・・」、「いや、いや、それは、ガ
ウス、オイラー当たりに責任があって・・・、私の責任ではありません」、「ごもっとも
なことで、それは、ご立派な言い訳で御座います」
ｅ(θｉ)＝１＋(θｉ)１/１！＋(θｉ)２/２！＋・・・の証明を断念。
しからば、これを定義と言って、切り抜ける。
これは誤魔化しでない？
「いやいや、そうではない・・・」と
落ちこぼれの大学教授連中が権威を背景にし、
団体を組んで頑張られると、俺も困ったなぁ・・・？？？
まぁ、ねぇ・・・、何はともあれ、複素数の指数の定義がなくては、複素数
の指数がある一切の式が証明出来ません。こんなの当たり前でしょう・・・？？？
こんないい加減な解説もあります。
何と、驚くべきことに、大学の数学で広く認められている解説のようです。
これでは、日本じゅうの大学生が「落ちさん」になります。
落ちさんも大勢いれば、落ちさんでなくなります。
どうぞご安心を・・・！！！
公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler) に因む
が、最初の発見者はロジャー・コーツ (Roger Cotes) とされる。コーツは1714年に
log(cosθ + i×sin θ)=i×θ
オイラーが、これを変形して、
ｅｉθ＝cosθ＋ｉsinθ
天才数学者の頭の中に、あでもない、こうでもない、その真っ最中にあった式。
「前進せよ、されば、信念は汝に・・・」
こんな記録は残っていません。
この式はダランベールの作ではありません。
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