＜定理−２＞
１） 点 Ｑ(反転円の内部にある)を通り、直線 ＯＱ に直交する直線と反転円の交点を
Ａ とするとき、直線 ＡＰ は反転円に接する。
２） 点 Ｑ(反転円の外部にある)を通り、反転円と接する点を Ａ とすると、 ＡＱ と
ＯＰ は直交する。
＜証明＞定理−１より、|ＯＰ|×|ＯＱ|＝ｋ２
条件より、|ＯＡ|２＝ｋ２
上の式より、|ＯＰ|×|ＯＱ|＝|ＯＡ|２
|ＯＰ|：|ＯＡ|＝|ＯＡ|：|ＯＱ|
∠ＰＯＡ＝∠ＡＯＱ
上の式より、 △ＰＯＡ∽△ＡＯＱ
△ＰＯＡ∽△ＡＯＱ から、
∠ＡＱＯ＝π/２ ⇒ ∠ＰＡＯ、直線 ＡＰ は反転円に接する。
∠ＰＡＯ＝π/２ ⇒ ∠ＡＱＯ、ＡＱ と ＯＰ は直交する。
この証明はユークリット幾何学です。この定理の証明はユークリットを使
うのが最適ですから、どうしてもこうなります。ここは複ベクトルを使うペ
ージですから、少々無理をして、ベクトルを使った証明を追加しましょう。
＜証明＞１）を示す。
定理−１より、|ＯＰ|×|ＯＱ|＝ｋ２＝|ＯＡ|２・・・・・・・・・・・・・（１）
ＡＯ・ＡＰ＝ＡＯ・(ＡＯ＋ＯＰ)
＝|ＯＡ|２＋ＡＯ・ＯＰ
＝ｋ２＋ＡＯ・ＯＰ ∵（１）より、
＝ｋ２＋(ＡＱ＋ＱＯ)・ＯＰ
＝ｋ２＋ＡＱ・ＯＰ＋ＱＯ・ＯＰ
＝ｋ２＋０−ｋ２ ∵ ＰＡ⊥ＯＱ
＝０
ＡＯ⊥ＡＰ
上の式より、直線 ＡＰ は反転円に接する。
２）を示す。
定理−１より、|ＯＰ|×|ＯＱ|＝ｋ２＝|ＯＡ|２・・・・・・・・・・・・・（１）
ＯＱ・ＡＰ＝ＯＱ・(ＡＯ＋ＯＰ)
＝ＯＱ・ＡＯ＋ＯＱ・ＯＰ
＝ＯＱ・ＡＯ＋ｋ２
＝ＯＱ・ＡＯ＋ｋ２
＝(ＯＡ＋ＡＱ)・ＡＯ＋ｋ２
＝−(ＯＡ)２＋ＡＱ・ＡＯ＋ｋ２
＝−ｋ２＋０＋ｋ２
＝０
ＯＱ⊥ＡＰ
上の式より、直線 ＡＰ と ＯＱ は直交する。
複ベクトルを使いすれば、良い証明になるとは限りません。
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