＜定理−３＞
１） 反転の中心 Ｏ を通る直線は同じ直線に移る．
２） 反転の中心 Ｏ を通らない直線は Ｏ を通る円に移る．
３） 反転の中心 Ｏ を通る円は Ｏ を通らない直線に移る．
４） 反転の中心 Ｏ を通らない円は Ｏ を通らない円に移る．
＜証明＞１）を示す。
定義−１、反転式より、ＯＱ＝(ｋ２/|ＯＰ|２)・ＯＰ
arg(ＯＱ)＝arg{(ｋ２/|ＯＰ|２)・ＯＰ}＝arg(ＯＰ)
arg(ＯＱ)＝arg(ＯＰ)
∴ Ｏ を通る直線は同じ直線に移る。
２）を示す。
Ｏ を通らない直線 Ａ・ＯＰ＝ｃ 上の点 Ｑ が反転によって Ｐ に移るとすると、
Ａ・ＯＱ＝ｃ、 ｃ≠０
定義−１、反転式より、
ＯＱ＝(ｋ２/|ＯＰ|２)・ＯＰ
上の式より、
Ａ・{(ｋ２/|ＯＰ|２)・ＯＰ}＝ｃ
Ａ・{(ｋ２/ｃ)・ＯＰ}＝|ＯＰ|２
{(ｋ２/ｃ)・Ａ}・ＯＰ＝(ＯＰ)Ｓ
(ＯＰ)Ｓ−{ｋ２/ｃ)・Ａ}・ＯＰ＝０
上の式は ＯＰ に関して２次方程式で、定数項が無いから、Ｏ を通る円の方程
式である。
３）を示す。
反転の中心 Ｏ を通り、中心が Ｇ の円周上の点 Ｑ が反転によって Ｐ に移る
とすると、
|ＧＱ|２＝ｒ２
ｒ２＝(ＧＯ＋ＯＱ)Ｓ
＝(ＧＯ)Ｓ＋２(ＧＯ・ＯＱ)＋(ＯＱ)Ｓ
＝ｒ２＋２(ＧＯ・ＯＱ)＋(ＯＱ)２
０＝２(ＧＯ・ＯＱ)＋(ＯＱ)２
定義−１、反転式より、
ＯＱ＝(ｋ２/|ＯＰ|２)・ＯＰ
上の式より、
０＝２{ＧＯ・(ｋ２/|ＯＰ|２)・ＯＰ}＋{(ｋ２/|ＯＰ|２)・ＯＰ}２
＝２{(ｋ２/|ＯＰ|２)(ＧＯ・ＯＰ)}＋{(ｋ４/|ＯＰ|２)}
＝２(ＧＯ・ＯＰ)＋ｋ２
＝ＧＯ・ＯＰ＋ｋ２/２
上の式は ＯＰ に関して１次方程式で、定数項が ０ でないから、Ｏ を通らない
直線の方程式である。
４）を示す。
反転の中心 Ｏ を通らない円の中心が Ｇ、半径をｒ、|ＯＧ|＝ｇ とし、その円周
上の点 Ｑ が反転によって、Ｐ に移るとすると、
（ＧＱ)Ｓ＝ｒ２
定義−１、反転式より、
ＯＱ＝(ｋ２/|ＯＰ|２)・ＯＰ
(ＯＱ)２＝(ｋ４/|ＯＰ|４)・(ＯＰ)２
ｋ４/(ＯＰ)Ｓ＝(ＯＱ)２
＝(ＯＧ＋ＧＱ)２
＝(ＯＧ)２＋２(ＯＧ・ＧＱ)＋(ＧＱ)２
＝ｇ２＋２(ＯＧ・ＧＱ)＋ｒ２
＝ｇ２＋２{(ＯＧ・(ＧＯ＋ＯＱ)}＋ｒ２
＝ｇ２−２(ＯＧ)２＋２(ＯＧ・ＯＱ)＋ｒ２
＝ｇ２−２ｇ２＋２(ＯＧ・ＯＱ)＋ｒ２
＝−ｇ２＋ｒ２＋２{ＯＧ・(ｋ２/|ＯＰ|２)・ＯＰ}
ｋ４＝(ーｇ２＋ｒ２)(ＯＰ)Ｓ＋２{ＯＧ・(ｋ２・ＯＰ}
＝(−ｇ２＋ｒ２)(ＯＰ)Ｓ＋２ｋ２(ＯＧ・ＯＰ)
０＝(−ｇ２＋ｒ２)(ＯＰ)Ｓ＋(２ｋ２・ＯＧ)・ＯＰ−ｋ４
＝(ｇ２−ｒ２)(ＯＰ)Ｓ−(２ｋ２・ＯＧ)・ＯＰ＋ｋ４
上の式は ＯＰ に関して２次方程式で、定数項が ０ でないから、Ｏ を通らない
円の方程式である。
上記の証明は数学の本には、多分無いでしょう。外国から輸入してきたバナナ
の叩き売りをしている「オッサン」のような大学教授連中に書けません。これを
解析幾何で証明するのは、インターネット上にもあります。
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