＜定理−５＞次の円の方程式の中心と半径(ｒ')は次式である。
１） (ＯＰ)Ｓ−{ｋ２/ｃ)・Ａ}・ＯＰ＝０
中心が ＯＭ＝(ｋ２/２ｃ)・Ａ
半径が ｒ'＝ｋ２|Ａ|/２ｃ
２） (ｇ２−ｒ２)(ＯＰ)Ｓ−(２ｋ２・ＯＧ)・ＯＰ＋ｋ４＝０、ｇ２−ｒ２＝Ｌ２ のとき、
中心が ＯＭ＝(ｋ/Ｌ)２・ＯＧ、
半径が ｒ'＝(ｋ/Ｌ)２)ｒ
＜証明＞１）を示す。
０＝(ＯＰ)Ｓ−{ｋ２/ｃ)・Ａ}・ＯＰ
＝(ＯＭ＋ＭＰ)Ｓ−{ｋ２/ｃ)・Ａ・(ＯＭ＋ＭＰ)
＝(ＯＭ)Ｓ＋２(ＯＭ・ＭＰ)＋(ＭＰ)Ｓ
−(ｋ２/ｃ)(Ａ・ＯＭ)−(ｋ２/ｃ)(Ａ・ＭＰ)
＝(ＭＰ)Ｓ＋(２・ＯＭ−(ｋ２/ｃ)・Ａ)・ＭＰ
＋(ＯＭ)Ｓ−(ｋ２/ｃ)(Ａ・ＯＭ)・・・・・・・(１）
上の式で、一次の項が消えるように Ｍ を選ぶと、
２・ＯＭ−(ｋ２/ｃ)・Ａ＝◎
ＯＭ＝(ｋ２/２ｃ)・Ａ
このとき（１）は、次のようになる。
０＝(ＭＰ)Ｓ＋(◎)・ＭＰ
＋{(ｋ２/２ｃ)・Ａ}Ｓ−(ｋ２/ｃ){Ａ・(ｋ２/２ｃ)・Ａ}
＝(ＭＰ)Ｓ−{(ｋ４/４ｃ２)|Ａ|２
(ＭＰ)Ｓ＝(ｋ２|Ａ|/２ｃ)２
上の式より、中心が Ｍ 、但し、ＯＭ＝(ｋ２/２ｃ)・Ａ
半径が ｋ２|Ａ|/２ｃ
２）を示す。
０＝(ｇ２−ｒ２)(ＯＰ)Ｓ−(２ｋ２・ＯＧ)・ＯＰ＋ｋ４、ｇ２−ｒ２＝Ｌ２
＝Ｌ２(ＯＰ)Ｓ−(２ｋ２・ＯＧ)・ＯＰ＋ｋ４
＝(ＯＰ)Ｓ−２{(ｋ２/Ｌ２)・ＯＧ}・ＯＰ＋ｋ４/Ｌ２
ｋ２/Ｌ２＝ｐ、ｋ４/Ｌ２＝ｑ と置くと、
０＝(ＯＰ)Ｓ−２(ｐ・ＯＧ)・ＯＰ＋ｑ
＝(ＯＭ＋ＭＰ)Ｓ−２(ｐ・ＯＧ)・(ＯＭ＋ＭＰ)＋ｑ
＝(ＭＰ)Ｓ＋２(ＯＭ・ＭＰ)−(２ｐ・ＯＧ)・ＭＰ
＋(ＯＭ)Ｓ−２ｐ(ＯＧ・ＯＭ)＋ｑ
＝(ＭＰ)Ｓ＋２(ＯＭ−ｐ・ＯＧ)・ＭＰ
＋(ＯＭ)Ｓ−２ｐ(ＯＧ・ＯＭ)＋ｑ・・・・・(２）
上の式で、一次の項が消えるように Ｍ を選ぶと、
ＯＭ−ｐ・ＯＧ＝◎
ＯＭ＝ｐ・ＯＧ＝(ｋ２/Ｌ２)・ＯＧ
このとき（２）は、次のようになる。
０＝(ＭＰ)Ｓ＋２(◎)・ＭＰ＋(ＯＭ)Ｓ−２ｐ(ＯＧ・ＯＭ)＋ｑ
＝(ＭＰ)Ｓ＋(ＯＭ)Ｓ−２ｐ(ＯＧ・ＯＭ)＋ｑ
＝(ＭＰ)Ｓ＋(ｐ・ＯＧ)Ｓー２ｐ(ＯＧ・ｐ・ＯＧ)＋ｑ
＝(ＭＰ)Ｓ＋ｐ２ｇ２ー２ｐ２ｇ２＋ｑ
＝(ＭＰ)Ｓ−ｐ２ｇ２＋ｑ
＝(ＭＰ)Ｓ−(ｋ２/Ｌ２)２ｇ２＋ｋ４/Ｌ２
＝(ＭＰ)Ｓ−ｋ４ｇ２/Ｌ４＋ｋ４Ｌ２/Ｌ４
＝(ＭＰ)Ｓ−ｋ４(ｇ２−Ｌ２)/Ｌ４
＝(ＭＰ)Ｓ−ｋ４ｒ２/Ｌ４
(ＭＰ)Ｓ＝(ｋ２ｒ/Ｌ２)２
上の式より、中心が ＯＭ＝(ｋ/Ｌ)２・ＯＧ、、
半径が ｒ'＝(ｋ/Ｌ)２ｒ
ここを勉強しておいて下さい。
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