＜定理−７＞交わらない２つの円を同心円にする反転変換が存在する。
＜証明＞２点 Ｍ、Ｎ を中心とする円があり、その半径は ｒ、ｓ（ｓ＜ｒ）である。２点 Ｍ、
Ｎ を通る直線をｘ軸にし、反転の中心 Ｈ をｘ軸にするとすると、反転された円の中
心もｘ軸に移動する。
ＯＭ＝(ｍ、０)、ＯＮ＝(ｎ、０) とし、反転円の半径を ｋ とする反転変換をすると、
円 Ｍ の中心は次式に移る。
{ｋ２/(|ＨＭ|２−ｒ２)}・ＨＭ
＝{ｋ２/(|ｍ−ｘ|２−ｒ２)}・(ｍ−ｘ，０)
＝{ｋ２/(ｘ２−２ｍｘ＋ｍ２−ｒ２)}・(ｍ−ｘ，０)
円 Ｎ の中心は次式に移る。
{ｋ２/(|ＨＮ−ｘ|２−ｓ２)}・ＨＮ
＝{ｋ２/(ｘ２−２ｎｘ＋ｎ２−ｓ２)}・(ｎ−ｘ，０)
円 Ｍ、Ｎ の中心が変換後に一致するには、
{ｋ２/(ｘ２−２ｍｘ＋ｍ２−ｒ２)}・(ｍ−ｘ，０)
＝{ｋ２/(ｘ２−２ｎｘ＋ｎ２−ｓ２)}・(ｎ−ｘ，０)
{(ｍ−ｘ)/(ｘ２−２ｍｘ＋ｍ２−ｒ２)}・(１，０)
＝{(ｎ−ｘ)/(ｘ２−２ｎｘ＋ｎ２−ｓ２)}・(１，０)
{(ｍ−ｘ)/(ｘ２−２ｍｘ＋ｍ２−ｒ２)}
＝{(ｎ−ｘ)/(ｘ２−２ｎｘ＋ｎ２−ｓ２)}
(ｘ−ｍ)(ｘ２−２ｎｘ＋ｎ２−ｓ２)
＝(ｘ−ｎ)(ｘ２−２ｍｘ＋ｍ２−ｒ２)
ｘ３−２ｎｘ２＋ｎ２ｘ−ｓ２ｘ−ｘ２ｍ＋２ｎｍｘ−ｎ２ｍ＋ｓ２ｍ
＝ｘ３−２ｍｘ２＋ｍ２ｘ−ｒ２ｘ−ｘ２ｎ＋２ｍｎｘ−ｍ２ｎ＋ｒ２ｎ
−２ｎｘ２＋ｎ２ｘ−ｓ２ｘ−ｘ２ｍ−ｎ２ｍ＋ｓ２ｍ
＝−２ｍｘ２＋ｍ２ｘ−ｒ２ｘ−ｘ２ｎ＋ｍ２ｎ＋ｒ２ｎ
０＝(ｎ−ｍ)ｘ２＋(ｍ２ｘ−ｒ２−ｎ２ｘ＋ｓ２)ｘ
＋{ｍｎ(ｍ−ｎ)＋ｓ２ｍ−ｒ２ｎ}・・・・・（１）
(ｎ−ｍ){ｍｎ(ｍ−ｎ)＋ｓ２ｍ−ｒ２ｎ}
＜(ｎ−ｍ){ｍｎ(ｍ−ｎ)＋ｒ２ｍ−ｒ２ｎ}
＜−(ｎ−ｍ)２{ｍｎ＋ｒ２}＜０
(ｎ−ｍ){ｍｎ(ｍ−ｎ)＋ｓ２ｍ−ｒ２ｎ}＜０ であるから、
（１）の方程式の実数解がある。
∴ 円 Ｍ、Ｎ の中心が変換後に一致する反転の中心 Ｈ が存在する。、
注意：方程式 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ は ａｃ＜０ のとき、実数解をもちます。
| 
