定理−９　





＜定理−９＞反転変換で複比は保たれる。

＜証明＞点 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ が反転変換によって、点 Ａ'、Ｂ、'Ｃ'、Ｄ' に移るとする。

        複比の定義から、

　　　　     (Ａ'Ｂ'Ｃ'Ｄ')＝(|Ａ'Ｃ'|/|Ｂ'Ｃ'|)÷(|Ａ'Ｄ'|/|Ｂ'Ｄ'|)

　　　　定理ー３ から、

　　　　　　|ＡＣ|：|Ａ'Ｃ'|＝|ＯＡ||ＯＣ|：ｋ２

　　　　　　　　　　|Ａ'Ｃ'|＝ｋ２|ＡＣ|/|ＯＡ||ＯＣ|

　　　　同様に、　　|Ｂ'Ｃ'|＝ｋ２|ＢＣ|/|ＯＢ||ＯＣ|

　　　　　　　　　　|Ａ'Ｄ'|＝ｋ２|ＡＤ|/|ＯＡ||ＯＤ|

　　　　　　　　　　|Ｂ'Ｄ'|＝ｋ２|ＢＤ|/|ＯＢ||ＯＤ|

　　　上の式から、

　　　　　 (Ａ'Ｂ'Ｃ'Ｄ')＝{ｋ２|ＡＣ|/|ＯＡ||ＯＣ|÷ｋ２|ＢＣ|/|ＯＢ||ＯＣ|}

                               ÷{ｋ２|ＡＤ|/|ＯＡ||ＯＤ÷ｋ２|ＢＤ|/|ＯＢ||ＯＤ|}

                         ＝[{|ＡＣ|/|ＯＡ||ＯＣ|}/{|ＢＣ|/|ＯＢ||ＯＣ|}]

                                        ÷[{|ＡＤ|/|ＯＡ||ＯＤ}/{|ＢＤ|/|ＯＢ||ＯＤ|}]

                         ＝[{|ＡＣ|/|ＯＡ|}/{|ＢＣ|/|ＯＢ|}]

                                        ÷[{|ＡＤ|/|ＯＡ|}÷{|ＢＤ|/|ＯＢ|}]

                         ＝(|ＡＣ|/|ＢＣ|)÷(|ＡＤ|/|ＢＤ|)

　　　　　　　　　　　　 ＝(ＡＢＣＤ)

　　　　∴　　反転変換で複比は保たれる。



    
　複比例　






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