＜例題＞四角形ＡＢＣＤ が円に内接するとき、次式が成立することを示せ。
|ＡＣ||ＢＤ|＝|ＡＢ||ＣＤ|＋|ＡＤ||ＣＢ|
(トレミーの定理)
＜解答＞ ＡＣ×ＢＤ＝(ＡＢ＋ＢＣ)×ＢＤ
＝ＡＢ×ＢＤ＋ＢＣ×ＢＤ
＝ＡＢ×(ＢＣ＋ＣＤ)＋ＢＣ×(ＢＡ＋ＡＤ)
＝ＡＢ×ＢＣ＋ＡＢ×ＣＤ＋ＢＣ×ＢＡ＋ＢＣ×ＡＤ
＝ＡＢ×ＢＣ＋ＡＢ×ＣＤ−ＢＣ×ＡＢ＋ＢＣ×ＡＤ
＝ＡＢ×ＣＤ＋ＢＣ×ＡＤ・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
条件より、四角形ＡＢＣＤ が円に内接するから、
π＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ
＝arg(ＢＡ÷ＢＣ)＋arg(ＤＣ÷ＤＡ)
＝arg{(ＢＡ÷ＢＣ)×(ＤＣ÷ＤＡ)}
＝arg{(ＢＡ×ＤＣ)÷(ＢＣ×ＤＡ)}
＝arg{(−ＡＢ×ＤＣ)÷(ＢＣ×ＤＡ)}
０＝arg{(ＡＢ×ＤＣ)÷(ＢＣ×ＤＡ)}
＝arg{(ＡＢ×ＤＣ)}−arg{ＢＣ×ＤＡ)}
arg(ＡＢ×ＣＤ)＝arg((ＢＣ×ＡＤ)
上の式より、ＡＢ×ＣＤ と ＢＣ×ＡＤ が平行で、同方向であるから、(１) より、
|ＡＣ×ＢＤ|＝|ＡＢ×ＣＤ＋ＢＣ×ＡＤ|
＝|ＡＢ×ＣＤ|＋|ＢＣ×ＡＤ|
＝|ＡＢ|×|ＣＤ|＋|ＢＣ|×|ＡＤ|
＝|ＡＢ|×|ＣＤ|＋|ＡＤ|×|ＣＢ|
∴ |ＡＣ||ＢＤ|＝|ＡＢ||ＣＤ|＋|ＡＤ||ＣＢ|
ベクトルを使わない証明(高学生向け)は下記ページにあります。
この問題にはどんな解答を持ってきても、掛算を使う解答には叶わんでしょう。
そもそも「トレミーの定理」と名前を付けるに値しない。
こりゃ・・・、トレミーが化けて出てくるかかもねぇ・・・？
オー、怖い、怖い・・・！
＜例題＞四角形ＡＢＣＤ に |ＡＢ||ＣＤ|＋|ＡＤ||ＣＢ|＝|ＡＣ||ＢＤ| が成立するとき、こ
の四角形は円に内接することを示せ。 (トレミーの定理の逆)
＜解答＞ ∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ
＝arg(ＢＡ÷ＢＣ)＋arg(ＤＣ÷ＤＡ)
＝arg{(ＢＡ÷ＢＣ)×(ＤＣ÷ＤＡ)}
＝arg{(ＡＢ÷ＢＣ)×(ＣＤ÷ＤＡ)}
＝arg{(ＡＢ×ＣＤ)÷(ＢＣ×ＤＡ)}
＝arg{(ＡＢ×ＣＤ)÷(ＡＤ×ＣＢ)} ・・・・・・・・・・・・・（１）
条件から、 |ＡＢ||ＣＤ|＋|ＡＤ||ＣＢ|＝|ＡＣ||ＢＤ|
(|ＡＢ||ＣＤ|)２＋２(|ＡＢ||ＣＤ||ＡＤ||ＣＢ|)＋(|ＡＤ||ＣＢ|)２
＝|ＡＣ||ＢＤ|２・・・・・(２)
ＡＢ×ＣＤ−ＡＤ×ＣＢ＝(ＡＣ＋ＣＢ)×ＣＤ−(ＡＣ＋ＣＤ)×ＣＢ
＝ＡＣ×ＣＤ＋ＣＢ×ＣＤ−ＡＣ×ＣＢ−ＣＤ×ＣＢ
＝ＡＣ×ＣＤ−ＡＣ×ＣＢ
＝ＡＣ×(ＣＤ−ＣＢ)
＝ＡＣ×(ＢＣ＋ＣＤ)
＝ＡＣ×ＢＤ
|ＡＢ×ＣＤ−ＡＤ×ＣＢ|＝|ＡＣ×ＢＤ|
|ＡＢ×ＣＤ−ＡＤ×ＢＣ|２＝|ＡＣ×ＢＤ|２
|ＡＢ×ＣＤ|２−２{(ＡＢ×ＣＤ)・(ＡＤ×ＢＣ)}＋|ＡＤ×ＢＣ|２
＝|ＡＣ×ＢＤ|２・・・・・・（３)
(２)、(３) より、 ２(|ＡＢ||ＣＤ||ＡＤ||ＢＣ|)
＝−２{(ＡＢ×ＣＤ)・(ＡＤ×ＢＣ)}
(|ＡＢ×ＣＤ||ＡＤ×ＢＣ|)
＝−|ＡＢ×ＣＤ||(ＡＤ×ＢＣ|cos(θ)
(|ＡＢ×ＣＤ||ＡＤ×ＢＣ|)cos(０)
＝|ＡＢ×ＣＤ||(ＡＤ×ＢＣ|cos(θ−π)
０＝θ−π
θ＝π・・・・・・・・・・・・・・・・・・（４）
(１)、(４) から、∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝π
∴ 四角形 ＡＢＣＤ は円に内接する。
訪問者からの質問
{|ＡＢ||ＣＤ|}２＝{|ＡＢ×ＣＤ|}２ となる理由が分かりません。
ＡＢ×ＣＤ において ＡＢ とＣＤ のなす角はどうなのですか。
お 答 え
内積と勘違いしておられませんか？ それならば
{|ＡＢ||ＣＤ|}２＝{|ＡＢ・ＣＤ|}２
は成立しません。 内積ではなくて、複ベクトルの掛算であることにご注意ください。
この時角度は関係なく成立します。
証明しましょう。
ＡＢ＝ａ(cosα，sinα)、ＣＤ＝ｃ(cosγ，sinγ) とすると、
ＡＢ×ＣＤ＝ａｃ{cos(α＋γ)，sin(α＋γ)}
上の式より、|ＡＢ||ＣＤ|＝ａ×ｃ＝ａｃ， |ＡＢ×ＣＤ|＝ａｃ
|ＡＢ||ＣＤ|＝|ＡＢ×ＣＤ|
{|ＡＢ||ＣＤ|}２＝|ＡＢ×ＣＤ|２
本格的な証明は，定理−10 にありますが、ここには内積と外積、内商と外商が使っ
てあり、皆さんがご覧になられたことがない数学があります。 理解出来なくても気に
なさる必要がありません。
＜例題＞正七角形 ＡＢＣＤＥＦＧ 対角線の長さが |ＡＢ|＝ａ，|ＡＣ|＝ｂ，|ＡＥ|＝ｃ のと
き，次式が成立することを示せ。 １/ｂ＋１/ｃ＝１/ａ
＜解答＞ｓ＝１/ｂ＋１/ｃ−１/ａ とおく。
条件から、ｓａｂｃ＝ａｃ＋ａｂ−ｂｃ
＝|ＡＢ||ＡＥ|＋|ＡＢ||ＡＣ|−|ＡＣ||ＡＥ|
＝|ＣＤ||ＡＥ|＋|ＤＥ||ＡＣ|−|ＡＣ||ＡＥ|
＝|ＣＤ×ＡＥ|＋|ＤＥ×ＡＣ|−|ＡＣ×ＡＥ|・・・・・・・（１）
条件から、π＝∠ＥＡＣ＋∠ＣＤＥ
＝arg(ＡＥ/ＡＣ)＋arg(ＤＣ/ＤＥ)
＝arg{(ＡＥ×ＤＣ)/(ＡＣ×ＤＥ)}
＝arg{(−ＣＤ×ＡＥ)/(ＤＥ×ＡＣ)}
＝π＋arg{(ＣＤ×ＡＥ)÷(ＤＥ×ＡＣ)}
０＝arg{(ＣＤ×ＡＥ)÷(ＤＥ×ＡＣ)}
上の式より、(ＣＤ×ＡＥ)//(ＣＤ×ＡＥ)、同方向であるから、（１）より、
ｓａｂｃ＋|ＡＣ×ＡＥ|
＝|ＣＤ×ＡＥ＋ＤＥ×ＡＣ|
＝|(ＣＡ＋ＡＤ)×ＡＥ＋(ＤＡ＋ＡＥ)×ＡＣ|
＝|ＣＡ×ＡＥ＋ＡＤ×ＡＥ＋ＤＡ×ＡＣ＋ＡＥ×ＡＣ|
＝|ＡＤ×ＡＥ＋ＤＡ×ＡＣ|
＝|ＡＤ×(ＡＥ−ＡＣ)|
＝|ＡＤ×(ＣＡ＋ＡＥ)|
＝|ＡＤ×ＣＥ|
＝|ＡＤ||ＣＥ|
＝|ＡＥ||ＡＣ|
ｓａｂｃ＝０
ｓ＝０
∴ １/ｂ＋１/ｃ＝１/ａ
「ベクトル無しで証明しなさい」こんな要求をされると、当ホームページの製作者
にはとても出来ません。ユークリット幾何学や解析幾何の流れの中にある数学者はど
んな頭脳をしていたのかを想像が出来ませんねぇ・・・。イヤ、イヤ、今でも解ける
人はいないことはありませんよ・・・。その解答はここにあります。
「上から下へ水がよどむことなく流れるように・・・」
まぁ、言うは易し・・・、
下々の者は、お偉い先生の要求にはとても応じられません・・・！！！
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